Como \(f(1) = 9\), devemos ter \(f^{-1}(f(1)) = 1\), logo \(f^{-1}(9) = 1\). Portanto, \((9,1)\) está no gráfico de \(f^{-1}\). Essa
é uma regra geral. Se \((a,b)\) está no gráfico de \(f\), então \((b,a)\) estará no gráfico de \(f^{-1}\).
\(
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\)
Aqui “desfazemos” funções.
Se uma função leva cada “entrada” a exatamente uma “saída”, uma inversa dessa função leva cada “saída” a exatamente uma “entrada”. Precisamos de uma definição mais formal para de fato dizer algo com rigor.
Seja \(f\) uma função com domínio \(A\) e imagem \(B\): ![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-149625cc96fccaa223316d6f9efe88a9.svg)
Seja \(g\) uma função com domínio \(B\) e imagem \(A\): ![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-990c5b924d7faf982b8c31bd0766a3ee.svg)
Dizemos que \(f\) e \(g\) são inversas uma da outra se \(f(g(b)) = b\) para todo \(b\) em
\(B\) e também \(g(f(a)) = a\) para todo \(a\) em \(A\). Nesse caso, às vezes escrevemos \(g = f^{-1}\).
![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-2ca00239a806c4c267b22052690eae5a.svg)
e
![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-0e96a3b8f5ec3631d65a0c4483673600.svg)
Assim, poderíamos reformular
essas condições como \[ f(f^{-1}(x)) = x\qquad \text {e}\qquad f^{-1}(f(x)) = x. \]
Essas duas equações simples são um pouco mais sutis do que
parecem à primeira vista.
Seja \(f\) uma função. Se o ponto \((1,9)\) está no gráfico de \(f\), que ponto deve estar no gráfico
de \(f^{-1}\)? \[ \left ( \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}, \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \right ) \]
Essa notação pode ser muito confusa. Fique atento: \begin{align*} f^{-1}(x) &= \text {a função inversa de $f$ calculada em $x$.}\\ f(x)^{-1} &= \text {$\frac {1}{f(x)}$.} \end{align*}
Qual das alternativas a seguir é a notação para a inversa da função \(\sin (\theta )\) no intervalo
\([-\pi /2,\pi /2]\)?
\(\sin ^{-1}(\theta )\) \(\sin (\theta )^{-1}\)
\(\sin ^{-1}(\theta )\) é a função inversa de \(\sin (\theta )\) no intervalo \([-\pi /2,\pi /2]\).
Por outro lado, \[ \sin (\theta )^{-1} = \frac {1}{\sin (\theta )} \ne \sin ^{-1}(\theta ). \]
Considere o gráfico de \(y=f(x)\) abaixo ![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-5692f05627532ebb1d585f0e188f71dc.svg)
A função \(f\) é invertível em \(x=1\)? (Isto é, \(f^{-1}(1)\) existe?)
xmhintExiste exatamente um valor de
\(b\) com \(f(b)=1\)?
sim não
\[ f^{-1}(1) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Até agora, só lidamos com exemplos abstratos. Vamos ver se conseguimos ancorar essa ideia em um contexto da vida real.
A função \[ f(t) = \left (\frac {9}{5}\right ) t + 32 \] recebe uma temperatura \(t\) em graus Celsius e a converte para
Fahrenheit. O que a inversa dessa função diz a você? Qual é a inversa dessa
função?
Se \(f\) converte medidas de temperatura em Celsius para medidas em Fahrenheit,
então \(f^{-1}\) converte medidas de temperatura em Fahrenheit para medidas em
Celsius.
Para encontrar a função inversa, primeiro observe que \[ f(f^{-1}(t)) = t \qquad \text {pela definição de funções inversas.} \] Agora escreva por extenso o lado esquerdo da equação \[ f(f^{-1}(t)) = \left (\frac {9}{5}\right ) f^{-1}(t)+32\qquad \text {pela regra de $f$} \] e resolva para \(f^{-1}(t)\). \begin{align*} \left (\frac {9}{5}\right ) f^{-1}(t)+32 &= t &&\text {pela regra de $f$}\\ \left (\frac {9}{5}\right ) f^{-1}(t)&= t -32\\ f^{-1}(t) &= \class{xm-given}{\left (\frac {5}{9}\right )(t - 32)}. \end{align*}
Logo, \(f^{-1}(t) = \left (\frac {5}{9}\right )(t - 32)\) é a função inversa de \(f\), que converte uma medida em Fahrenheit de volta para uma medida em Celsius.
Por fim, poderíamos conferir nosso trabalho mais uma vez usando a definição de funções inversas. Já garantimos que \[ f(f^{-1}(t)) = t, \] pois resolvemos para \(f^{-1}\) em nosso cálculo. Por outro lado, \begin{align*} f^{-1}(f(t))&=f^{-1} \left (\left (\frac {9}{5}\right )t+32\right ) \\ &= \frac {5}{9}\Big ( \left (\frac {9}{5}\right )t+32-32\Big )\\ &=t \end{align*}
o que mostra que \(f^{-1}(f(t)) = t\).
Examinamos várias funções para determinar suas funções inversas, mas essa história ainda não acabou. Nem toda função tem uma inversa, então precisamos aprender a verificar quando isso acontece.
Seja \(f\) uma função, e imagine que os pontos \((2,3)\) e \((7,3)\) estão ambos em seu gráfico. \(f\) poderia
ter uma função inversa?
sim não
A função \(f\) não poderia ter uma função
inversa. Imagine que tivesse. Então \(f^{-1}(f(2)) = 2\) e \(f^{-1}(f(7)) = 7\). Assim, teríamos tanto \(f^{-1}(3) = 2\) quanto \(f^{-1}(3) = 7\). Como uma
função não pode levar a mesma entrada a duas saídas diferentes, \(f\) não pode ter uma
função inversa.
Olhe novamente para a última pergunta. Se duas entradas diferentes de uma função têm a mesma saída, não há esperança de que essa função tenha uma função inversa. Por quê? Porque a função inversa também precisa ser uma função, e uma função só pode ter uma saída para cada entrada. Mais especificamente, temos a seguinte definição.
Uma função é chamada de injetora se cada valor de saída corresponde a
exatamente um valor de entrada.
Quais das alternativas a seguir são funções que também são injetoras?
Associar
palavras ao seu significado em um dicionário. Dado um corredor correndo
para a frente em uma pista reta, associar o tempo à posição do corredor. Associar pessoas à sua data de nascimento. Associar mães a seus filhos.
-
Como palavras podem ter mais de uma definição, “associar palavras à sua definição em um dicionário” não é uma função.
-
Como o corredor está correndo para a frente na pista reta, cada instante corresponde a uma posição, e cada posição corresponde a um instante. Logo, isso dá uma função injetora.
-
Como cada pessoa tem apenas uma data de nascimento, “associar pessoas à sua data de nascimento” é uma função. No entanto, muitas pessoas têm a mesma data de nascimento, logo essa função não é injetora.
-
Como mães podem ter mais (ou menos) de um filho, “associar mães a seus filhos” não é uma função.
Quais das funções a seguir são injetoras? Selecione todas as alternativas que se
aplicam.
Você deve se lembrar de que um gráfico dá \(y\) como função de \(x\) se toda reta vertical cruza o gráfico no máximo uma vez, e chamamos isso de teste da reta vertical. De modo semelhante, uma função é injetora se toda reta horizontal cruza o gráfico no máximo uma vez, e chamamos isso de teste da reta horizontal.
Uma função é injetora em seu domínio se a reta horizontal \(y = b\) intersecta a curva \(y=f(x)\) em
exatamente um ponto, para todos os valores \(b\) na imagem de \(f\). Isso é chamado de
teste da reta horizontal.
Abaixo, apresentamos o gráfico de \(f(x)=-5x^2+30x+60\). Embora esse gráfico
passe no teste da reta vertical e, portanto, represente \(y\) como função de \(x\),
ele não passa no teste da reta horizontal, logo a função não é injetora. ![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-69738bd23b634c9961e3c6b95b56ec87.svg)
Como discutimos, só podemos encontrar a inversa de uma função quando ela é injetora. Se uma função não é injetora, mas ainda assim queremos uma inversa, precisamos restringir o domínio. Vamos ver o que isso significa nos próximos exemplos.
Considere o gráfico da função \(f\) abaixo:
![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-0435e4fb591eddd5eb6667a475ae6869.svg)
Em quais dos intervalos a seguir \(f\) é injetora?
Essa ideia de restringir o domínio é fundamental para entender funções como \(f(x) = \sqrt {x}\).
Definimos \(f(x) = \sqrt {x}\) como a raiz quadrada positiva, para que possamos ter certeza de que \(f\) é
uma função. Pensando na raiz quadrada como a inversa da função que eleva ao
quadrado, podemos ver a questão um pouco mais claramente. Há dois valores de \(x\)
cujo quadrado é \(9\). \[ x^2 = 9\qquad \text {significa $x=\pm 3$} \] Como exigimos que a raiz quadrada seja uma função,
devemos ter apenas um valor de saída quando substituímos \(9\). Escolhemos a raiz
quadrada positiva, o que significa que \[ \sqrt {9} =3. \]
Considere a função \[ f(x) = x^2. \] \(f\) tem uma inversa? Se sim, qual é? Se não, tente restringir o
domínio de \(f\) e encontre uma inversa no domínio restrito.
Neste caso, \(f\) não é injetora.
No entanto, ela é injetora no intervalo \([0,\infty )\). Logo, podemos encontrar uma inversa de \(f(x)=x^2\)
nesse intervalo. Substituímos \(f^{-1}(x)\) em \(f\) e escrevemos \begin{align*} f(f^{-1}(x)) &= \left (f^{-1}(x)\right )^2\\ x &= \left (f^{-1}(x)\right )^2. \end{align*}
![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-80fdeb92793c95eae3cd86654a10401b.svg)
Como o domínio de \(f\) é \([0, \infty )\), sabemos que \(x\) é positivo. Isso significa que podemos extrair a raiz quadrada de cada lado da equação e obter \[ \sqrt {x} = f^{-1}(x). \]
Considere o gráfico
de \(y=f(x)\) abaixo ![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-c293ddd87869915d852e1e670c49ace8.svg)
A função \(f\) é
injetora no intervalo \([1,2]\)?
sim não
Seja \(f^{-1}\) a função inversa de \(f\) restrita ao
domínio \([1,2]\).
-
Determine o domínio de \(f^{-1}\). \[ \text {O domínio de $f^{-1}$ é } \left [\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}, \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right ] \]
-
Determine o valor de \(f\left ( f^{-1}(0.5)\right )\). \[ f\left ( f^{-1}(0.5)\right ) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
-
Escolha a afirmação correta a respeito de \(f^{-1}(0.5)\).
\(f^{-1}(0.5)>1.5\) \(f^{-1}(0.5)\le 1.5\) \(f^{-1}(0.5)\) não está definido
Considere a função \[ f(x) = x^3. \] A função \(f\) tem uma inversa? Se sim, qual é? Se não, tente
restringir o domínio de \(f\) e encontre uma inversa no domínio restrito.
Neste caso, \(f\) é
injetora. Podemos escrever \begin{align*} f(f^{-1}(x)) &= \left (f^{-1}(x)\right )^3\\ x &= \left (f^{-1}(x)\right )^3\\ \sqrt [3]{x} &= f^{-1}(x). \end{align*}
![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/digInInversesOfFunctions-6bad52a5879a9a10324cb8d4eb54ef5f.svg)
Para seu deleite visual, apresentamos um gráfico de \(y=f(x)=x^3\) e de \(y=f^{-1}(x)= \sqrt [3]{x}\). Observe que o gráfico de \(f^{-1}\) é a imagem de \(f\) refletida em relação à reta \(y=x\).