Funções trigonométricas

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Revisamos as funções trigonométricas.

1 O que são funções trigonométricas?

Uma função trigonométrica é uma função que relaciona a medida de um ângulo de um triângulo retângulo a uma razão entre os lados do triângulo.

As funções trigonométricas básicas são o cosseno e o seno. Elas são chamadas “trigonométricas” porque relacionam medidas de ângulos a medidas de triângulos. Dado um triângulo retângulo

definimos \[ \cos (\theta ) = \frac {\text {cateto adjacente}}{\text {hipotenusa}}\qquad \text {e}\qquad \sin (\theta ) = \frac {\text {cateto oposto}}{\text {hipotenusa}}. \] Observe que os valores de seno e cosseno não dependem da escala do triângulo. Sendo bem explícitos, se ampliarmos ou reduzirmos um triângulo por um fator de escala $k$,

\[ \cos (\theta ) = \frac {k\cdot \text {adjacent}}{k\cdot \text {hypotenuse}} =\frac {\text {adjacent}}{\text {hypotenuse}} \] e \[ \sin (\theta ) = \frac {k\cdot \text {cateto oposto}}{k\cdot \text {hipotenusa}} = \frac {\text {cateto oposto}}{\text {hipotenusa}}. \]

A esta altura, poderíamos simplesmente supor que, sempre que desenharmos um triângulo para calcular seno e cosseno, a hipotenusa será $1$. Podemos fazer isso porque estamos apenas mudando a escala do triângulo e, como vimos acima, isso não faz absolutamente nenhuma diferença no cálculo de seno e cosseno. Logo, quando a hipotenusa é $1$, descobrimos que uma maneira conveniente de pensar em seno e cosseno é por meio do círculo unitário:

Se considerarmos todas as combinações possíveis de razões entre

cateto adjacente, cateto oposto, hipotenusa,

(permitindo que o cateto adjacente e o cateto oposto sejam negativos, como no círculo unitário), obtemos todas as funções trigonométricas.

As funções trigonométricas são: \[ \begin{aligned} \cos (\theta ) &= \frac {\text {adj}}{\text {hip}}\\ \sec (\theta ) &= \frac {1}{\cos (\theta )}\\ \tan (\theta ) &= \frac {\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\qquad \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \sin (\theta ) &= \frac {\text {op}}{\text {hip}}\\ \csc (\theta ) &= \frac {1}{\sin (\theta )}\\ \cot (\theta ) &= \frac {\cos (\theta )}{\sin (\theta )} \end{aligned} \] em que o domínio de seno e cosseno é o conjunto de todos os números reais, e as outras funções trigonométricas estão definidas precisamente quando seus denominadores são diferentes de zero.

Quais das expressões a seguir são iguais a $\sec (\theta )$?

$\frac {1}{\cos (\theta )}$ $\frac {1}{\sin (\theta )}$ $\frac {\text {adj}}{\text {hip}}$ $\frac {\text {hip}}{\text {adj}}$ $\frac {\tan (\theta )}{\sin (\theta )}$ $\frac {1}{\sin (\theta )\cdot \cot (\theta )}$

Observe que $\frac {\tan (\theta )}{\sin (\theta )}\ne \sec (\theta )$ e que $\frac {1}{\sin (\theta )\cdot \cot (\theta )}\ne \sec (\theta )$, pois elas diferem quando $\theta =0$.

2 Nem todos os ângulos vêm de triângulos.

Dado um triângulo retângulo como

o ângulo $\theta $ não pode ser negativo e não pode ultrapassar $\frac {\pi }{2}$ radianos. Isso significa que, para falar das funções trigonométricas de outros ângulos, precisamos ser capazes de descrever as funções trigonométricas de um modo um pouco mais geral. Para isso, usamos o círculo unitário da seção anterior. Dado um ângulo $\theta $, construímos o ângulo com lado inicial sobre o semieixo $x$ positivo e vértice na origem.

À medida que o ângulo $\theta $ cresce cada vez mais, o lado terminal desse ângulo gira em torno do círculo. As funções trigonométricas do ângulo $\theta $ são definidas em termos do lado terminal.

Suponha que $(x,y)$ seja o ponto em que o lado terminal do ângulo de medida $\theta $ intersecta o círculo unitário. Então as funções trigonométricas são definidas por \[\begin{aligned} \cos (\theta ) &= x\\ \sec (\theta ) &= \frac {1}{x}\\ \tan (\theta ) &= \frac {y}{x}\qquad \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \sin (\theta ) &= y\\ \csc (\theta ) &= \frac {1}{y}\\ \cot (\theta ) &= \frac {x}{y} \end{aligned}\] desde que esses valores existam.

Pela figura, você vê que isso concorda com o que você já sabe sobre a trigonometria dos triângulos, mas nos permite estender a definição de seno e cosseno a todos os números reais, em vez de apenas ao intervalo $\left ( 0, \frac {\pi }{2} \right )$

3 Conexões com funções inversas

As funções trigonométricas aparecem com frequência em problemas, e muitas vezes estamos interessados em encontrar medidas específicas de ângulos. Por exemplo, você pode querer encontrar algum ângulo $\theta $ tal que \[ \cos (\theta ) = .7 \] Logo, queremos ser capazes de “desfazer” as funções trigonométricas. No entanto, como as funções trigonométricas não são injetoras, ou seja, há infinitos ângulos com $\cos (\theta ) = .7$, é impossível encontrar uma verdadeira função inversa para $\cos (\theta )$. Mesmo assim, é útil ter algo parecido com uma inversa dessas funções, por mais imperfeita que seja. A abordagem usual é escolher uma coleção de ângulos que produza todos os valores possíveis exatamente uma vez. Se “descartarmos” todos os outros ângulos, a função resultante tem uma inversa de verdade. Em outras palavras, estamos restringindo o domínio da função trigonométrica para poder encontrar uma inversa. A função $\cos (\theta )$ assume todos os valores entre $-1$ e $1$ exatamente uma vez no intervalo $[0,\pi ]$.

Se restringirmos o domínio de $\cos (\theta )$ a esse intervalo, então essa função restrita é injetora e, portanto, tem uma inversa.

Qual arco do círculo unitário corresponde ao domínio restrito de $\cos (\theta )$ descrito acima?

De modo semelhante, precisamos restringir o domínio do seno para poder tomar uma inversa. A função $\sin (\theta )$ assume todos os valores entre $-1$ e $1$ exatamente uma vez no intervalo $[-\pi /2,\pi /2]$.

Se restringirmos o domínio de $\sin (\theta )$ a esse intervalo, então essa função restrita é injetora e, assim, tem uma inversa.

Qual arco do círculo unitário corresponde ao domínio restrito de $\sin (\theta )$ descrito acima?

Examinando tanto o seno quanto o cosseno em domínios restritos, podemos agora produzir as funções arco seno e arco cosseno:

As funções \[ \arccos (x)\qquad \text {e}\qquad \arcsin (x) \] são chamadas “arco” porque fornecem o ângulo que o cosseno ou o seno usou para produzir o seu valor. É bastante comum escrever \[ \arccos (x) = \cos ^{-1}(x)\qquad \text {e}\qquad \arcsin (x) = \sin ^{-1}(x). \] No entanto, essa notação é enganosa, pois $\cos ^{-1}(x)$ e $\sin ^{-1}(x)$ não são verdadeiras funções inversas do cosseno e do seno. Lembre-se de que uma função e sua inversa desfazem uma à outra em qualquer ordem; por exemplo, \[ \sqrt [3]{x^3}=x\qquad \text {e}\qquad \left (\sqrt [3]{x}\right )^3=x. \] Como o arco seno é a inversa do seno restrito ao intervalo $[-\pi /2,\pi /2]$, isso não funciona com o seno e o arco seno; por exemplo, \[ \arcsin (\sin (\pi ))=0. \] embora seja verdade que \[ \sin (\arcsin (x)) = x\qquad \text {e}\qquad \cos (\arccos (x)) = x. \]

Qual das afirmações a seguir é verdadeira?

$\sin ^{-1}(x)$ é a função inversa de $\sin (x)$ $\sin \left (\sin ^{-1}\left (\frac {1}{2}\right )\right ) = \frac {1}{2}$ $\sin ^{-1}\left (\sin \left (\frac {5\pi }{2}\right )\right ) = \frac {5\pi }{2}$ $\sin ^{-1}(x) = \frac {1}{\sin (x)}$

Calcule: \[ \arccos (\cos (5\pi /3)) \]

A questão aqui é que $5\pi /3$ pode não estar na imagem do arco cosseno. Para encontrar o número que procuramos, vamos consultar um círculo unitário que decoramos com o domínio do arco cosseno:

Como os pontos $5\pi /3$ e $\pi /3$ têm a mesma coordenada $x$, $\cos (5\pi /3) = \cos (\pi /3)$. Logo, \[ \arccos (\cos (5\pi /3)) = \pi /3. \]

Agora que você tem uma noção de como $\arcsin (x)$ e $\arccos (x)$ se comportam, vamos examinar a tangente.

Qual arco do círculo unitário corresponde ao domínio restrito de $\tan (\theta )$ descrito acima?

Mais uma vez, trabalhando apenas em um domínio restrito da tangente, podemos produzir uma função inversa, o arco tangente. Aqui vemos o gráfico de $\arctan (x)$, a função inversa de $\tan (\theta )$ quando seu domínio é restrito ao intervalo $(-\pi /2,\pi /2)$.

Calcule: \[ \arctan (\tan (5\pi /3)) \]

A questão aqui é que $5\pi /3$ pode não estar na imagem do arco tangente. Para encontrar o número que procuramos, vamos consultar um círculo unitário que decoramos com o domínio do arco tangente:

Como os pontos $5\pi /3$ e $-\pi /3$ têm as mesmas coordenadas $x$ e $y$, \[ \arctan (\tan (5\pi /3)) = -\pi /3. \]

Agora apresentamos alguns fatos sobre as outras funções trigonométricas e trigonométricas “inversas”.

$\arccos (x) = \theta $ significa que $\cos (\theta ) = x$ e que $\theta $ está em $[0, \pi ]$. O domínio de $\arccos (x)$ é $[-1, 1]$.
$\arcsin (x) = \theta $ significa que $\sin (\theta ) = x$ e que $\theta $ está em $\left [-\dfrac {\pi }{2}, \dfrac {\pi }{2}\right ]$. O domínio de $\arcsin (x)$ é $[-1, 1]$.
$\arctan (x) = \theta $ significa que $\tan (\theta ) = x$ e que $\theta $ está em $\left (-\dfrac {\pi }{2}, \dfrac {\pi }{2}\right )$. O domínio de $\arctan (x)$ é $(-\infty , \infty )$.
$\arccot (x) = \theta $ significa que $\cot (\theta ) = x$ e que $\theta $ está em $(0, \pi )$. O domínio de $\arccot (x)$ é $(-\infty , \infty )$.
$\arcsec (x) = \theta $ significa que $\sec (\theta ) = x$ e que $\theta $ está no intervalo $[0, \pi ]$, exceto $\theta \neq \dfrac {\pi }{2}$, o que se escreve em notação de intervalo como $\left [0, \dfrac {\pi }{2}\right ) \cup \left (\dfrac {\pi }{2}, \pi \right ]$. O domínio de $\arcsec (x)$ é o conjunto de todos os $x$ com valor absoluto maior ou igual a $1$, o que se escreve em notação de intervalo como $(-\infty , -1] \cup [1, \infty )$.
$\arccsc (x) = \theta $ significa que $\csc (\theta ) = x$ e que $\theta $ está em $\left [-\frac {\pi }{2}, 0\right ) \cup \left (0, \frac {\pi }{2}\right ]$. O domínio de $\arccsc (x)$ é $(-\infty , -1] \cup [1, \infty )$.

4 O poder do teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é provavelmente o teorema mais famoso de toda a matemática.

Teorema de Pitágoras Dado um triângulo retângulo:

Temos que: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

O teorema de Pitágoras fornece várias identidades trigonométricas fundamentais.

Identidades pitagóricas Valem as seguintes identidades: \[ \cos ^2\theta +\sin ^2\theta = 1 \qquad 1 + \tan ^2\theta = \sec ^2\theta \qquad \cot ^2\theta + 1 = \csc ^2\theta \]

A partir do círculo unitário, podemos ver

pelo teorema de Pitágoras que \[ \cos ^2(t) + \sin ^2(t) = 1. \] Se dividirmos essa expressão por $\class{xm-given}{\cos ^2(t)}$, obtemos \[ 1 + \tan ^2(t) = \sec ^2(t) \] e, se dividirmos $\cos ^2(t) + \sin ^2(t) = 1$ por $\class{xm-given}{\sin ^2(t)}$, obtemos \[ \cot ^2(t) + 1 = \csc ^2(t). \]

Podemos simplificar expressões usando o teorema de Pitágoras

Suponha que $\arctan (3/5) = \theta $. Calcule $\sin (\theta )$.

Se $\arctan (3/5) = \theta $, então \begin{align*} \tan (\arctan (3/5)) &= \tan (\theta )\\ \class{xm-given}{3/5} &= \tan (\theta ). \end{align*}

Agora vamos usar o teorema de Pitágoras para deduzir $\sin (\theta )$. Se $\tan (\theta )=3/5$, o triângulo em questão deve ser semelhante a este triângulo:

A partir desse triângulo e do nosso trabalho acima, vemos que \[ \sin (\theta ) = \class{xm-given}{3/\sqrt {3^2+5^2}}. \]

Também usaremos o teorema de Pitágoras para nos ajudar a simplificar expressões abstratas, transformando-as em expressões que podemos calcular com facilidade.

Simplifique \[ \tan (\arccos (x)) \]

Comece escrevendo \[ \theta = \arccos (x) \] Isso significa que $\tan (\arccos (x)) = \tan (\theta )$. Aplique o cosseno a ambos os lados da equação acima: \begin{align*} \cos (\theta ) &= \cos (\arccos (x))\\ \cos (\theta ) &= \class{xm-given}{x}. \end{align*}

Agora vamos usar o teorema de Pitágoras para deduzir $\tan (\theta )$. Se $\cos (\theta )=x$, o triângulo em questão deve ser semelhante a este triângulo:

A partir desse triângulo e do nosso trabalho acima, vemos que \[ \tan (\arccos (x)) = \tan (\theta ) = \class{xm-given}{\frac {\sqrt {1-x^2}}{x}}. \]