Aplicações de integrais

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Apresentamos mais contextos para entender integrais.

1 Velocidade e deslocamento, velocidade escalar e distância

Algumas grandezas incluem uma “direção” que é relativa a algum ponto fixo.

$v(t)$ é a velocidade de um objeto no instante $t$. Ela representa a “variação da posição” no instante $t$.
$s(t)$ é a posição de um objeto no instante $t$. Ela dá a localização em relação à origem. \[ s(t) = s(a)+\int _a^t v(z) \d z. \]
$s(b) - s(a)$ é o deslocamento, a distância entre a localização inicial e a localização final.

Por outro lado, velocidade escalar e distância são grandezas sem “direção”.

$|v(t)|$ é a velocidade escalar.
$\int _a^b |v(t)| \d t$ é a distância percorrida.

Considere uma partícula cuja velocidade no instante $t$ é dada por $v(t) = \sin (t)$.

Qual é o deslocamento da partícula de $t=0$ a $t=\pi $? Isto é, calcule: \[ \int _0^\pi \sin (t) \d t \begin{prompt}= \class{xm-given}{2}\end{prompt} \] Qual é o deslocamento da partícula de $t=0$ a $t=2\pi $? Isto é, calcule: \[ \int _0^{2\pi } \sin (t) \d t \begin{prompt}= \class{xm-given}{0}\end{prompt} \] Qual é a distância percorrida pela partícula de $t=0$ a $t=\pi $? Isto é, calcule: \[ \int _0^\pi \left | \sin (t) \right | \d t \begin{prompt}= \class{xm-given}{2}\end{prompt} \] Qual é a distância percorrida pela partícula de $t=0$ a $t=2\pi $? Isto é, calcule: \[ \int _0^{2\pi } \left | \sin (t) \right | \d t \begin{prompt}=\class{xm-given}{4}\end{prompt} \]

2 Variação líquida de uma quantidade

Podemos aplicar os teoremas fundamentais do cálculo a uma variedade de problemas em que tanto a acumulação quanto a taxa de variação desempenham papéis importantes. Por exemplo, podemos considerar um tanque que está sendo abastecido com combustível a uma certa taxa. Dada a taxa, podemos perguntar qual é a quantidade de combustível no tanque em um certo instante. Ou um tanque que está sendo esvaziado a uma taxa dada, ou uma cultura de bactérias crescendo em uma placa de Petri, ou a população de uma cidade, etc. Isso nos leva ao nosso próximo teorema.

Seja $A(t)$ a quantidade de alguma substância/população no instante $t$.

Suponha que a função $A$ seja contínua e derivável e que sua derivada, $A'$, seja contínua em algum intervalo de tempo $[a,b]$.

Então a variação líquida, $\Delta A$, da quantidade $A$ ao longo do intervalo de tempo $[a,b]$ é dada por \[ \Delta A = A(b)-A(a)=\int _a^b A'(t)dt. \]

Isso vem do segundo teorema fundamental do cálculo. É claro que $\Delta A = A(b)-A(a)$, o que dá a variação da quantidade $A$ ao longo do intervalo de tempo $[a,b]$. É a diferença entre a quantidade no fim do intervalo de tempo e a quantidade no início do intervalo de tempo.

O lado direito da equação, a integral definida, dá a “acumulação de uma taxa”. Você pode pensar nessa integral definida como o limite de somas de Riemann, em que cada soma de Riemann é a “soma das variações da quantidade em pequenos intervalos de tempo”.

Um experimento é conduzido no qual uma cultura de bactérias é cultivada em uma placa de Petri. A população inicial foi estimada em 1200 células. A taxa de crescimento da população é estimada em $P'(t)=100e^{-0.2 t}$ células/dia.

Quanto a população cresceu durante os três primeiros dias do experimento?
O crescimento da população durante os três primeiros dias do experimento é dado por: \begin{align*} P(3)-P(0) &=\int _0^3 P'(t)\d t\\ &=\int _0^3 100 e^{-0.2 t}\d t\\ &=\eval {\frac {100}{-0.2}e^{-0.2 t}}_0^3\approx 226 \end{align*}
Durante os três primeiros dias, a população cresceu aproximadamente 226 células.
Calcule a soma de Riemann à direita da função $P'$ no intervalo $[0,3]$ com $n=3$. O que essa soma de Riemann aproxima? Essa aproximação é uma estimativa por falta ou por excesso, e por quê?

Essa soma de Riemann aproxima a variação da população durante os três primeiros dias do experimento. Esperamos que ela seja uma estimativa por falta, porque a função $P'$ é decrescente e esta é uma soma de Riemann à direita.
Como $n=3$, $\Delta t=\dfrac {3-0}{3}=1$. Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, nossos pontos amostrais serão $x_k^* = a + k \Delta t = 0 + k \cdot 1 = k$. \begin{align*} P(3)-P(0) &= \int _0^3 P'(t) \d t\\ &\approx \sum _{k=1}^3P'(k)\\ &=P'(1)+P'(2)+P'(3)\\ &=100e^{-0.2 }+100e^{-0.4}+100e^{-0.6}\\ &\approx 204 \end{align*}
Determine a população em um instante qualquer $t\ge 0$.
\begin{align*} P(t)-P(0)&=\int _0^t P'(z)\d z\\ &=\int _0^t 100 e^{-0.2 z}\d z\\ &=\eval {\frac {100}{-0.2}e^{-0.2 z}}_0^t\\ &=500\left (1-e^{-0.2 t}\right ) \end{align*}
Portanto, para $t\ge 0$, \[ P(t)=P(0)+500\left (1-e^{-0.2 t}\right )=1700 -500e^{-0.2 t} \]

3 Valor médio de uma função contínua

Pensar em integrais definidas como “área com sinal” funciona muito bem enquanto for possível de fato visualizar a “área”. Em alguns casos, uma metáfora melhor para integrais vem da ideia de valor médio. Olhando para trás, para a sua época de matemático ainda mais jovem, você talvez se lembre da ideia de média: \[ \frac {f_1+f_2+\dots +f_n}{n} = \frac {1}{n}\sum _{k=1}^n f_k \] Se quisermos conhecer $\overline {f}$, o valor médio de uma função no intervalo $[a,b]$, uma abordagem ingênua seria introduzir $n+1$ pontos igualmente espaçados no intervalo $[a,b]$ \[ a=x_0 < x_1 < \dots < x_{n}=b \] e escolher um ponto amostral $x_k^*$ em cada intervalo $[x_k,x_{k+1}]$, $k=1,\dots ,n$.

Vamos aproximar o valor médio de $f$ no intervalo $[a,b]$ pela média de $f(x_1^*)$, $f(x_2^*)$, …e $f(x_n^*)$: \[ \overline {f}\approx \frac {f(x_1^*) + f(x_2^*) + \dots + f(x_n^*)}{n} = \frac 1n\sum _{k=1}^n f(x_k^*). \] Multiplicando essa última expressão por $1 = \frac {(b-a)}{(b-a)}$: \begin{align*} \frac 1n \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\frac {(b-a)}{(b-a)} &= \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\frac 1n \frac {(b-a)}{(b-a)} \\ &= \frac {1}{b-a} \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\frac {b-a}n \\ &=\frac {1}{b-a} \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x \end{align*}

em que $\Delta x = (b-a)/n$. Ah! No lado direito temos uma soma de Riemann!

O que acontecerá quando $n\to \infty $?

Tomamos o limite quando $n\to \infty $: \[ \overline {f}=\lim _{n\to \infty } \frac {1}{b-a} \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x = \frac {1}{b-a} \int _a^b f(x)\d x. \] Isso nos leva à nossa próxima definição:

Seja $f$ contínua em $[a,b]$. O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é dado por \[ \overline {f}= \frac {1}{b-a}\int _a^b f(x)\d x. \]

Multiplicando essa equação por $(b-a)$, obtemos que \[ \overline {f}(b-a)= \int _a^b f(x)\d x. \] Se $f$ for positiva, o valor médio da função dá a altura de um único retângulo cuja área é igual a \[ \int _a^b f(x) \d x. \]

Uma aplicação dessa definição é dada no próximo exemplo.

Um objeto se move para a frente e para trás ao longo de uma reta com velocidade dada por $v(t) = (t-1)^2$ em $[0,3]$, em que $t$ é medido em segundos e $v(t)$ em pés/s.

Qual é a velocidade média do objeto?

Pela definição, a velocidade média é: \begin{align*} \overline {v}&=\frac {1}{3-0}\int _0^3v(t)\d t\\ &=\frac {1}{3}\int _0^3 (t-1)^2\d t \\ &=\frac 13 \int _0^3 (t^2-2t+1)\d t\\ &= \frac 13\eval {\frac {t^3}{3}-t^2+t}_0^3\\ &= 1\text { ft/s}. \end{align*}

Escolha todas as expressões corretas para $\overline {v}$, a velocidade média de um objeto que se move ao longo de uma reta no intervalo de tempo $[a,b]$.

(Lembrete: $s$ é a função posição e $a$ é a aceleração.)

$\overline {v}=\frac {1}{b-a}\int _a^b s(t)\d t$ $\overline {v}=\frac {1}{b-a}\int _a^b v(t)\d t$ $\overline {v}=\frac {1}{b-a}\int _a^b a(t)\d t$ $\overline {v}=\frac {a(b)-a(a)}{b-a}$ $\overline {v}=\frac {v(b)-v(a)}{b-a}$ $\overline {v}=\frac {s(b)-s(a)}{b-a}$

Já sabemos que \[ \overline {v}=\frac {s(b)-s(a)}{b-a}. \] Também sabemos que a função posição é dada por \[ s(t)=s(a)+\int _a^tv(z)\d z. \] Portanto, \[ \overline {v}=\frac {s(b)-s(a)}{b-a}=\frac {s(a)+\int _a^bv(t)\d t-s(a)}{b-a}=\frac {1}{b-a}\int _a^bv(t)\d t. \] Logo, podemos calcular a velocidade média usando tanto a função posição quanto a função velocidade.

Quando calculamos a média de um conjunto finito de valores, não importa em que ordem colocamos esses valores. Quando calculamos o valor médio de uma função, porém, precisamos ter mais cuidado.

Por exemplo, há pelo menos duas maneiras diferentes de dar sentido a uma frase vaga como “A altura média de um ponto do semicírculo unitário”

Uma maneira de dar sentido a “A altura média de um ponto do semicírculo unitário” é calcular o valor médio da função \[ f(x) =\sqrt {1-x^2} \] no intervalo $[-1,1]$.

Calcule o valor médio da função \[ f(x) =\sqrt {1-x^2} \] no intervalo $[-1,1]$.

Pela definição, queremos calcular \[ \frac {1}{2}\int _{-1}^1 \sqrt {1-x^2} \d x. \] Calculando essa integral geometricamente, encontramos que o valor médio é $\class{xm-given}{\frac {\pi }{4}}$.

Outra maneira de dar sentido a “A altura média de um ponto do semicírculo unitário” é o valor médio da função \[ g(\theta ) =\sin (\theta ) \] em $[0,\pi ]$, já que $\sin (\theta )$ é a altura do ponto do círculo unitário no ângulo $\theta $.

Calcule o valor médio da função \[ g(\theta ) =\sin (\theta ) \] no intervalo $[0,\pi ]$.

Pela definição, queremos calcular \[ \frac {1}{\pi } \int _0^\pi \sin (\theta ) \d \theta . \] Calculando essa integral geometricamente, encontramos que o valor médio é $\class{xm-given}{\frac {2}{\pi }}$.

Veja se você consegue entender intuitivamente por que a média usando $f$ deve ser maior do que a média usando $g$.

4 Teorema do valor médio para integrais

Assim como temos um teorema do valor médio para derivadas, também temos um teorema do valor médio para integrais.

Teorema do valor médio para integrais Seja $f$ contínua em $[a,b]$. Existe um valor $c$ em $(a,b)$ tal que \[ \int _a^bf(x)\d x = f(c)(b-a). \]

Assim como o teorema do valor intermediário e o teorema do valor médio para derivadas, esta é uma afirmação existencial. Ela nos diz que tal número $c$ existe. Ela não nos diz como calculá-lo. Se quisermos calcular o valor de $c$, teremos de recorrer às nossas habilidades algébricas.

O teorema do valor médio para integrais nos diz:

O valor médio de uma função contínua pertence à imagem da função.

Defina uma função acumulação (de área), $F$, \[ F(x)= \int _a^x f(t)\d t \] Como $F$ é contínua no intervalo $[a,b]$ e derivável no intervalo $(a,b)$, podemos aplicar o teorema do valor médio à função $F$ no intervalo $[a,b]$. Portanto, existe um número $c$ em $(a,b)$ tal que \[ F'(c)=\frac {F(b)-F(a)}{b-a} \] Mas sabemos que $F'(c)=f(c)$ e que $F(b)-F(a)=\int _a^bf(t)\d t =\int _a^bf(x)\d x $. Portanto, \[ f(c)=\frac {1}{b-a}\int _a^bf(x)\d x \]

Ilustramos os princípios envolvidos nessa versão do teorema do valor médio no exemplo a seguir.

Seja $f(x)=\sin (x)$. Considere $\int _0^\pi \sin (x) \d x$. Determine um valor $c$ garantido pelo teorema do valor médio.

Primeiro precisamos calcular $\int _0^\pi \sin (x)\d x$. \[ \int _0^\pi \sin (x)\d x =\eval {-\cos (x)}_0^\pi = 2. \] Assim, procuramos um valor $c$ em $[0,\pi ]$ tal que $\pi \sin (c) =2$. \[ \pi \sin (c) = 2\ \ \Rightarrow \ \ \sin (c) = 2/\pi \ \ \Rightarrow \ \ c_1 = \arcsin (2/\pi ) \approx 0.69. \] Há outro ponto desse tipo: $c_2=\pi -0.69$. De fato, \[ f( \pi -0.69)=\sin {(\pi -0.69)}=\sin {(0.69)}=\frac {2}{\pi }=\overline {f}. \] Um gráfico de $\sin (x)$, junto com um retângulo de altura $\sin (0.69)$, é mostrado abaixo. A área do retângulo é a mesma que a área sob $\sin (x)$ em $[0,\pi ]$. Os dois pontos $c_1$ e $c_2$ também aparecem na figura. Lembre-se de que $f(c_1)=f(c_2)=\overline {f}$.