A acumulação de uma taxa é dada pela variação da quantidade.
Existe outra forma comum do Teorema Fundamental do Cálculo. Nessa forma, o
Teorema Fundamental do Cálculo servirá como nossa “fórmula de atalho” para
calcular integrais definidas.
Segundo teorema fundamental do cálculo Seja \(f\) contínua em \([a,b]\). Se \(F\) é qualquer
antiderivada de \(f\), então \[ \int _a^b f(x)\d x = F(b)-F(a). \]
Chame de \(G\) a função acumulação dada por \[G(x) = \int _a^x f(t) \d t.\] Pelo Primeiro
Teorema Fundamental do Cálculo, \(G\) é uma antiderivada de \(f\). Vemos que valem as duas
igualdades: \begin{align*} G(a) &= \int _a^a f(t) \d t = 0, \textrm { e } \\ G(b) &= \int _a^b f(x) \d x. \end{align*}
Fixe \(F\) como uma antiderivada qualquer de \(f\). Como \(F\) e \(G\) têm a mesma derivada, elas
diferem por uma constante. Isto é, existe uma constante \(C\) tal que, para todo \(x\) no
intervalo \([a, b]\), \(G(x) = F(x)+C\).
A partir disso, você deve perceber que as duas versões do Teorema Fundamental
estão intimamente relacionadas. Na verdade, as duas formas são equivalentes,
apenas enunciadas de modo diferente. Por isso, muitas vezes as pessoas
simplesmente chamam ambas de “O Teorema Fundamental do Cálculo”.
Uma maneira de pensar no Segundo Teorema Fundamental do Cálculo é:
Isso pode ser lido
como:
A acumulação de uma taxa é dada pela variação
da quantidade.
Quando calculamos uma integral definida, primeiro encontramos uma antiderivada e
depois a avaliamos nos limites de integração. É conveniente primeiro exibir a
antiderivada e depois avaliá-la. Uma notação especial costuma ser usada
no processo de calcular integrais definidas usando o Teorema Fundamental
do Cálculo. Em vez de escrever explicitamente \(F(b)-F(a)\), muitas vezes escrevemos \[ \eval {F(x)}_a^b \]
o que significa que devemos avaliar \(F(x)\) em \(b\) e depois subtrair \(F(x)\) avaliada em \(a\)
\[ \eval {F(x)}_a^b = F(b)-F(a). \]
Vamos examinar juntos o Primeiro e o Segundo Teoremas Fundamentais:
\begin{align*} \ddx \int _a^x f(t) \d t &= f(x), \textrm { (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo)}\\ \int _a^b \ddx f(x) \d x &= \eval {f(x)}_a^b, \textrm { (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo)} \end{align*}
Juntos, eles nos dizem como a integral definida e a derivada interagem uma com a
outra.
Vamos ver alguns exemplos do teorema fundamental em ação.
Calcule: \[ \int _{-2}^2 x^3\d x \]
Começamos encontrando uma antiderivada de \(x^3\). Uma escolha possível é \(\frac {x^{4}}{4}\).
(Podemos verificar isso derivando: \(\ddx \frac {x^4}{4} = x^3\).) Observe que não precisamos do termo “\(+C\)” aqui. O
Segundo Teorema Fundamental do Cálculo diz que podemos usar qualquer
antiderivada de \(x^3\). Quase sempre usaremos aquela com \(C=0\) ao calcular uma integral
definida. \begin{align*} \int _{-2}^2 x^3 \d x &=\eval {\frac {x^4}{4}}_{-2}^2\\ &= \frac {2^4}{4} - \frac {(-2)^4}{4}\\ &= 0. \end{align*}
Começamos encontrando uma antiderivada de \(\sin (\theta )\). Uma escolha correta é \(-\cos (\theta )\), o
que se pode verificar calculando a derivada. Então \begin{align*} \int _0^\pi \sin (\theta ) \d \theta &= \eval {-\cos (\theta )}_0^\pi \\ &=\class{xm-given}{-\cos (\pi )} - (-\cos (0))\\ &=\class{xm-given}{2}. \end{align*}
Isso é interessante: diz que a área sob uma “corcova” da curva do seno é \(2\).
Calcule: \[ \int _0^5 e^t\d t \]
Começamos encontrando uma antiderivada de \(e^t\). Uma escolha correta é \(\class{xm-given}{e^t}\), o
que se pode verificar calculando a derivada. Logo \begin{align*} \int _0^5 e^t \d t &= \eval {e^t}_0^5 \\ &= e^5-\class{xm-given}{e^0}\\ &= e^5-\class{xm-given}{1}. \end{align*}
Começamos encontrando uma antiderivada de \(x^9 + \frac {1}{x}\). Uma escolha correta é \(\frac {x^{10}}{10} + \ln (x)\), o
que se pode verificar calculando a derivada. Logo \begin{align*} \int _1^2\left (x^9 + \frac {1}{x}\right ) \d x &= \eval {\frac {x^{10}}{10} + \ln (x)}_1^2 \\ &= \frac {2^{10}}{10} + \ln (2) - \class{xm-given}{\frac {1}{10}}. \end{align*}
1 Entendendo o movimento com o Teorema Fundamental do Cálculo
Sabemos que
A derivada de uma função posição é uma função velocidade.
A derivada de uma função velocidade é uma função aceleração.
Agora considere integrais definidas de funções velocidade e aceleração. Especificamente,
se \(v(t)\) é uma função velocidade, o que significa \(\displaystyle \int _a^b v(t)\d t\)?
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo afirma que \[ \int _a^b v(t)\d t = V(b) - V(a), \] onde \(V(t)\) é qualquer
antiderivada de \(v(t)\). Como \(v(t)\) é uma função velocidade, podemos escolher \(V(t)\) como a função
posição. Então, \(V(b) - V(a)\) mede uma variação de posição, ou deslocamento, ao longo do
intervalo de tempo \([a,b]\).
Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade dada por \(v(t) = -32t+20 \unit {ft/s}\), onde \(t\) é
medido em \(\unit {seconds}\). Determine e interprete \(\displaystyle \int _0^1 v(t)\d t\).
Usando o Segundo Teorema Fundamental do
Cálculo, temos \begin{align*} \int _0^1 v(t)\d t &= \int _0^1 (-32t+20)\d t \\ &= \eval {\class{xm-given}{-16t^2 + 20t}}_0^1 \\ &= 4. \end{align*}
Assim, se uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade \[ v(t) = \class{xm-given}{-32t+20}, \] a altura da
bola, \(1 \unit {second}\) depois, estará \(4 \unit {feet}\) acima da altura inicial. Observe que a bola percorreu uma
distância muito maior. Ela subiu até o ponto mais alto e está caindo, mas a diferença
entre sua altura em \(t=0\) e em \(t=1\) é \(4 \unit {ft}\).
Agora sabemos que, para resolver certos tipos de problemas, aqueles que envolvem
alguma forma de acumulação, “basta” encontrar uma antiderivada, substituir dois
valores e subtrair. Infelizmente, encontrar antiderivadas pode ser bastante difícil.
Embora exista um pequeno número de regras que nos permitem calcular
a derivada de qualquer função usual, não existem regras desse tipo para
antiderivadas. Há algumas técnicas que frequentemente se mostram úteis,
mas nunca conseguiremos reduzir o problema a um processo completamente
mecânico.
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