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Aqui examinamos o que a segunda derivada nos diz sobre a geometria das funções.

Até agora, sabemos determinar se uma função é crescente ou decrescente olhando para o sinal de sua derivada. Se tudo o que sabemos sobre \(f\) é onde ela cresce e onde decresce, não temos informação suficiente para descrever com precisão como \(f\) está se comportando. Considere as quatro possibilidades a seguir:

Nos dois gráficos da coluna da esquerda, \(f\) é decrescente. Nos dois gráficos da coluna da direita, \(f\) é crescente. Qual é a diferença entre as duas fileiras? A concavidade.

Isto é, o gráfico de \(f\) tem concavidade para cima se, localmente, ele fica acima de suas retas tangentes, e tem concavidade para baixo se, localmente, ele fica abaixo de suas retas tangentes.

Os gráficos de duas funções, \(f\) e \(g\), ambas crescentes no intervalo dado, são apresentados abaixo.

Nesse exemplo, examine o intervalo em que \(f\) tinha concavidade para cima. No início desse intervalo, \(f\) era decrescente e, no fim, \(f\) era crescente. As inclinações nesse intervalo aumentaram de um valor negativo para um valor positivo. No intervalo em que \(f\) tinha concavidade para baixo, as inclinações começaram positivas e terminaram negativas. As inclinações nesse intervalo eram decrescentes.

Sabemos que o sinal da derivada nos diz se uma função é crescente ou decrescente em um certo ponto. Da mesma forma, o sinal da segunda derivada \(f''(x)\) nos diz se \(f'(x)\) é crescente ou decrescente em \(x\). Vamos usar isso para acrescentar mais detalhes ao quadro acima.

Se estamos tentando entender a forma do gráfico de uma função, saber onde ele tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo nos ajuda a obter uma imagem mais precisa. Vale a pena resumir o que já vimos em um único teorema.

Vamos começar com informações sobre onde uma função é crescente/decrescente/côncava para cima/côncava para baixo e ver se conseguimos usá-las para entender o comportamento da função.