Funções polinomiais

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Os polinômios estão entre as nossas funções favoritas.

As funções com que você tem mais familiaridade provavelmente são as funções polinomiais.

1 O que são funções polinomiais?

Uma função polinomial na variável $x$ é uma função que pode ser escrita na forma \[ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \] em que os $a_i$ são todos constantes (chamados de coeficientes) e $n$ é um número natural (chamado de grau quando $n\ne 0$). O domínio de uma função polinomial é $(-\infty ,\infty )$.

Isso significa que a função $f(x)=x$ é um polinômio de grau $1$, com $a_1 = 1$ e $a_0 = 0$. A função $g(x) = 2$ é um polinômio com $n=0$ e $a_0 = 2$. Do mesmo modo, toda função constante é uma função polinomial. No entanto, $h(x) = \sqrt [3]{x} = x^{1/3}$ não é um polinômio, pois o expoente $1/3$ não é um número natural.

Quais das funções a seguir são funções polinomiais?

$f(x) = 0$ $f(x) = -9$ $f(x) = 3x+1$ $f(x) = x^{1/2}-x +8$ $f(x) = -4x^{-3}+5x^{-1}+7-18x^2$ $f(x) = (x+1)(x-1)+e^x - e^x $ $f(x) = \frac {x^2 - 3x + 2}{x-2}$ $f(x) = x^7-32x^6-\pi x^3+45/84$

A expressão acima, “na variável $x$”, pode na verdade mudar. \[ y^2-4y +1 \] é um polinômio em $y$, e \[ \sin ^2(x) + \sin (x) -3 \] é um polinômio em $\sin (x)$.

2 Como podem ser os gráficos?

Curiosidade:

Teorema fundamental da álgebra Todo polinômio da forma \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \] em que os $a_i$ são números reais (ou até complexos!) e $a_n \ne 0$ tem exatamente $n$ raízes complexas (possivelmente repetidas).

Lembre-se: uma raiz é um ponto em que o polinômio se anula. O teorema acima é um fato profundo da matemática. O grande matemático Gauss demonstrou o teorema em 1799, em sua tese de doutorado.

Para nós, a consequência disso é que, quando traçamos o gráfico de um polinômio de grau $n$, ele cruza o eixo $x$ no máximo $n$ vezes. Cada cruzamento corresponde a uma raiz real desse polinômio. (Raízes complexas não produzem cruzamentos!)

Esboce um gráfico aproximado da função $f(x) = 2(x-1)^2(x+2)$.

Recebemos $f$ na forma fatorada, então reconhecemos que $x=1$ é um zero de multiplicidade $2$ e $x=-2$ é um zero de multiplicidade $1$. Isso significa que nosso gráfico terá interceptos com o eixo $x$ nesses pontos.

Nesses interceptos com o eixo $x$, o gráfico vai atravessar o eixo $x$ como uma reta faz, ou vai tocar o eixo e dar meia-volta, como uma parábola faz em seu vértice? Para responder a isso, observe um quadro de sinais de $f$.

[Picture]

Observe que, em torno de $x=-2$, apenas o fator $x+2$ muda de sinal. Isso significa que $f(x)$ vai mudar de sinal, então o gráfico atravessa o eixo $x$ em $x=-2$. Em $x=1$, porém, o fator $(x-1)^2$ NÃO muda de sinal (por causa do expoente par). Isso significa que $f(x)$ vai dar meia-volta nesse intercepto com o eixo $x$. Observamos também que, para $x$ no intervalo $(-\infty , -2)$, a função $f$ é negativa e, para $x$ em $(1,\infty )$, a função $f$ é positiva. (Como $f$ é um polinômio de grau ímpar, suas ‘pontas’ vão em direções opostas.) Juntando tudo isso, obtemos o gráfico a seguir.

[Picture]

Aqui vemos os gráficos de quatro funções polinomiais.

Para cada uma das curvas, determine se o polinômio tem grau par ou ímpar, e se o coeficiente líder (aquele que acompanha a maior potência de $x$) do polinômio é positivo ou negativo.

A curva $A$ é definida por um polinômio de grau parímpar com termo líder positivonegativo.
A curva $B$ é definida por um polinômio de grau parímpar com termo líder positivonegativo.
A curva $C$ é definida por um polinômio de grau parímpar com termo líder positivonegativo.
A curva $D$ é definida por um polinômio de grau parímpar com termo líder positivonegativo.