Derivadas das funções trigonométricas inversas

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Deduzimos as derivadas das funções trigonométricas inversas usando derivação implícita.

Agora vamos deduzir as derivadas do arco seno, do arco tangente e do arco secante.

A derivada do arco seno \[ \ddx \arcsin (x) = \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}. \]

Lembre-se de que \[ \arcsin (x) = \theta \] significa que $\sin (\theta ) = x$ e $\class{xm-given}{\frac {-\pi }{2}}\le \theta \le \class{xm-given}{\frac {\pi }{2}}$. Derivando implicitamente em relação a $x$, vemos que \begin{align*} \sin (\theta ) &= x\\ \ddx \sin (\theta ) &= \ddx x &\text {Derive ambos os lados.}\\ \cos (\theta ) \cdot \theta ' &= 1 &\text {Derivação implícita.}\\ \theta ' &= \frac {1}{\cos (\theta )} &\text {Isole $\theta '$.} \end{align*}

Embora $\theta ' = \frac {1}{\cos (\theta )}$, precisamos da nossa resposta escrita em termos de $x$. Como estamos supondo que \[ \sin (\theta ) = x, \] considere o seguinte triângulo junto com o círculo unitário:

A partir do círculo unitário acima, vemos que \begin{align*} \theta ' &= \frac {1}{\cos (\theta )}\\ &=\frac {\mathrm {hip}}{\mathrm {adj}}\\ &= \class{xm-given}{\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}}. \end{align*}

Lembre-se de que $\cos {x}\ge 0$ no intervalo $\Bigl (-\frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2}\Bigr )$.

Para sermos totalmente explícitos, \[ \ddx \theta = \ddx \arcsin (x) = \class{xm-given}{\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}}. \]

Calcule: \[ \ddx \sin ^{-1}(x) \begin{prompt} = \class{xm-given}{1/\sqrt {1-x^2}} \end{prompt} \]

Podemos fazer algo parecido com o arco tangente.

A derivada do arco tangente \[ \ddx \arctan (x) = \frac {1}{1+x^2}. \]

Para começar, observe que o Teorema da Função Inversa nos garante que essa derivada de fato existe. Lembre-se de que \[ \arctan (x) = \theta \] significa que $\tan (\theta ) = x$ e $\class{xm-given}{\frac {-\pi }{2}}< \theta < \class{xm-given}{\frac {\pi }{2}}$.

Derivando implicitamente em relação a $x$, obtemos que \begin{align*} \tan (\theta ) &= x\\ \ddx \tan (\theta ) &= \ddx x &\text {Derive ambos os lados.}\\ \sec ^2(\theta ) \cdot \theta ' &= 1 &\text {Derivação implícita.}\\ \theta ' &= \frac {1}{\sec ^2(\theta )} \end{align*}

Lembre-se da identidade trigonométrica: $\sec ^2(\theta )=1+\tan ^2(\theta )$.
\begin{align*} \theta ' &= \frac {1}{1+\tan ^2(\theta )} \end{align*}

Lembre-se de que, como vimos acima, $\tan (\theta ) = x$.
\begin{align*} \theta ' &= \frac {1}{1+x^2} \end{align*}

Para sermos totalmente explícitos, \[ \ddx \theta = \ddx \arctan (x) = \class{xm-given}{\frac {1}{1+x^2}}. \]

Calcule: \[ \ddx \tan ^{-1}(\sqrt {x}) \begin{prompt} = \class{xm-given}{1/(2\sqrt {x}(1+x))} \end{prompt} \]

Por fim, investigamos a derivada do arco secante.

A derivada do arco secante \[ \ddx \arcsec (x) = \frac {1}{|x|\sqrt {x^2-1}}\qquad \text {for $|x|>1$.} \]

Lembre-se de que \[ \arcsec (x) = \theta \] significa que $\sec (\theta ) = x$ e $\class{xm-given}{0}\le \theta \le \class{xm-given}{\pi }$ com $\theta \ne \class{xm-given}{\pi /2}$. Derivando implicitamente em relação a $x$, vemos que \begin{align*} \sec (\theta ) &= x\\ \ddx \sec (\theta ) &= \ddx x &\text {Derive ambos os lados.}\\ \sec (\theta )\tan (\theta ) \cdot \theta ' &= 1 &\text {Derivação implícita.}\\ \theta ' &= \frac {1}{\sec (\theta )\tan (\theta )} &\text {Isole $\theta '$.}\\ \theta ' &= \frac {\cos ^2(\theta )}{\sin (\theta )}. \end{align*}

Embora $\theta ' = \frac {\cos ^2(\theta )}{\sin (\theta )}$, precisamos da nossa resposta escrita em termos de $x$. Como estamos supondo que \[ \sec (\theta ) = \frac {1}{\cos (\theta )}= x, \] podemos considerar o seguinte triângulo:

Agora podemos redimensionar esse triângulo por um fator de $\frac {1}{x}$ para colocá-lo no círculo unitário:

A partir do círculo unitário acima, vemos que \begin{align*} \theta ' &= \frac {\cos ^2(\theta )}{\sin (\theta )}\\ &= \frac { \left (\frac {\mathrm {adj}}{\mathrm {hip}}\right )^2}{\frac {\mathrm {op}}{\mathrm {hip}}}\\ &= \frac {\left (\mathrm {adj}\right )^2}{\mathrm {op}} &\text {Observe que $\mathrm {hip}=1$.}\\ &= \frac {\class{xm-given}{1/x^2}}{\sqrt {1-1/x^2}}\\ &= \frac {1}{|x|\sqrt {x^2-1}}, \end{align*}

Para sermos totalmente explícitos, \[ \ddx \theta = \ddx \arcsec (x) = \frac {1}{|x|\sqrt {x^2-1}}\qquad \text {para $|x|>1$}. \]

Calcule: \[ \ddx \sec ^{-1}(3x) \begin{prompt} = \class{xm-given}{\frac {1}{|x|\sqrt {(3x)^2-1}}} \end{prompt} \]

Deixamos para você, leitor, a tarefa de investigar as derivadas do arco cosseno, do arco cossecante e do arco cotangente. No entanto, em um gesto de amizade, apresentamos agora uma lista de fórmulas de derivadas das funções trigonométricas inversas.

Derivadas das funções trigonométricas inversas

$\dd {x} \arcsin (x) = \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}$
$\dd {x} \arccos (x) = \frac {-1}{\sqrt {1-x^2}}$
$\dd {x} \arctan (x) = \frac {1}{1+x^2}$
$\dd {x} \arcsec (x) = \frac {1}{|x|\sqrt {x^2-1}}$ para $|x|>1$
$\dd {x} \arccsc (x) = \frac {-1}{|x|\sqrt {x^2-1}}$ para $|x|>1$
$\dd {x} \arccot (x) = \frac {-1}{1+x^2}$

Vamos praticar um pouco o uso dessas novas fórmulas-atalho.

Calcule: \[ \ddx \arccos ( x^5 ) \]

\[ \dfrac {-1}{\sqrt {1-(x^5)^2}} \cdot 5x^4\]

Calcule: \[ \ddx x^3 \arctan (\sqrt {x}) \]

\[ 3x^2 \cdot \arctan (\sqrt {x}) + x^3 \cdot \dfrac {1}{1 + (\sqrt {x})^2} \cdot \class{xm-given}{\frac {1}{2\sqrt {x}}}. \]

Calcule: \[ \ddx \dfrac {e^x}{\arcsin ( x )} \]

\[ \dfrac {e^x \arcsin (x) - e^x \dfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}}{\left ( \arcsin (x)\right )^2}\]

Calcule: \[ \ddx \arcsec (x \ln (x^2+5) ) \]

\[ \dfrac {1}{|x\ln (x^2+5)|\sqrt {\left (x \ln (x^2+5)\right )^2-1}}\cdot \left ( \ln (x^2+5) + x \dfrac {2x}{x^2+5}\right ) \]