Como estamos “comprimindo”
o integrando, a integral tem valor \(5/3\). Para refletir: como mudamos o integrando de
modo que as duas integrais acima sejam iguais?
\(
\newenvironment {prompt}{}{}
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\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
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\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
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\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
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\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
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\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
\newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm }
\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
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\newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow }
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\DeclareMathOperator {\si }{Si}
\DeclareMathOperator {\scal }{scal}
\DeclareMathOperator {\sign }{sign}
\newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}}
\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
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\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
\newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}}
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\newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla }
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\newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits }
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\newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle }
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\)
Dois estudantes pensam na substituição de forma geométrica.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley! A gente devia conseguir calcular algumas integrais geometricamente usando transformações de funções.
- Riley
- Parece uma ideia legal. Talvez, como sabemos que o gráfico de \(f(x) = \sqrt {1-x^2}\) é um semicírculo, obtemos uma elipse definida em \([-2,2]\) simplesmente esticando o gráfico de \(f\) por um fator de \(2\) na horizontal. A equação dessa elipse seria \[ g(x) =\sqrt {1-\left (\frac {x}{2}\right )^2} \]
- Devyn
- Exatamente! Então, como sabemos que \[ \int _{-1}^1 \sqrt {1-x^2} \d x = \frac {\pi }{2} \] geometricamente…
- Riley
- E sabemos que a área sob \(g\) em \([-2,2]\) é o dobro da área sob \(f\)…
- Devyn and Riley
- Devemos ter \[ \int _{-2}^2 \sqrt {1-(x/2)^2} \d x =\pi ! \]
- Devyn and Riley
- Falamos juntos!
- Devyn
- É como se a gente tivesse esticado todo o nosso sistema de coordenadas, e isso nos ajudou a resolver uma integral.
- Riley
- Nesse caso, tudo foi esticado por um fator constante de \(2\) na direção horizontal. Será que conseguiríamos dizer algo útil sobre casos em que esticamos o eixo \(x\) por uma quantidade diferente em cada ponto?
- Devyn
- Uau, essa ideia é bem maluca. Parece muito difícil. Como as derivadas medem quanto uma função estica um pedacinho do domínio, talvez a derivada entre em jogo aqui?
- Riley
- Hmmmm, mas não vejo exatamente como. Talvez devêssemos perguntar ao nosso monitor sobre isso?
Digamos que saibamos que \[ \int _1^4 f(x) \d x = 5. \] Então, usando essa ideia de transformação, podemos
calcular \[ \int _a^b f(3x+1)\d x \] se \(a= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) e \(b=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\). O valor da integral nesse intervalo é \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).