O teorema do valor extremo

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Examinamos um fato sobre funções contínuas.

Vamos relembrar a ideia de extremo global.

Uma função $f$ tem um máximo global em $x=a$ se $f(a)\geq f(x)$ para todo $x$ no domínio da função.
Uma função $f$ tem um mínimo global em $x=a$ se $f(a)\leq f(x)$ para todo $x$ no domínio da função.

Um extremo global é um máximo global ou um mínimo global.

Seja $f$ a função dada pelo gráfico abaixo.

Determine a coordenada $x$ do ponto em que a função $f$ tem um máximo global. \[ x= \class{xm-given}{2} \]

Observe que $f(2)\ge f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$. Note que a função $f$ também tem um máximo local em $x=2$.

Determine a coordenada $x$ do ponto em que a função $f$ tem um mínimo global. \[ x= \class{xm-given}{5} \] Observe que $f(5)\le f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$. Note que a função $f$ não tem um mínimo local em $x=5$. Lembre-se de que uma função não pode ter um extremo local em um ponto da fronteira do domínio.

Determine a(s) coordenada(s) $x$ do(s) ponto(s) em que a função $f$ tem um mínimo local. \[ x= \class{xm-given}{1} \] Observe que $f(1)\le f(x)$ para todo $x$ em um intervalo, digamos, $(0,2)$. Mas não é verdade que $f(1)\le f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$. Por exemplo, $f(4.5)<f(1)$.

Toda função atinge um extremo global em seu domínio? Selecione a resposta correta.

Toda função atinge tanto um mínimo global quanto um máximo global em seu domínio. Toda função atinge um mínimo global em seu domínio. Toda função atinge um máximo global em seu domínio. Algumas funções não têm extremos globais em seu domínio.

Confira o gráfico a seguir.

Note que a função não é contínua em $x=1$ e, portanto, $f$ não é contínua em seu domínio, $(-1,5)$.
A função dada pelo gráfico acima atinge um extremo global em seu domínio? Selecione a resposta correta.

A função atinge tanto um mínimo global quanto um máximo global em seu domínio. A função atinge um mínimo global, mas não tem máximo global em seu domínio. A função atinge um máximo global, mas não tem mínimo global em seu domínio. A função não tem extremo global em seu domínio.

Confira o gráfico abaixo.

Note que a função é contínua em seu domínio $(-1,5)$. A função dada pelo gráfico acima atinge um extremo global em seu domínio? Selecione a resposta correta.

Confira o gráfico a seguir.

Note que a função é contínua em um intervalo fechado $[-1,5]$. A função dada pelo gráfico acima atinge um extremo global em seu domínio? Selecione a resposta correta.

Determine a(s) coordenada(s) x do(s) ponto(s) em que a função $f$ tem um mínimo global. \[ x= \class{xm-given}{-1},\hspace {0.2in} x= \class{xm-given}{1} \]

Determine a(s) coordenada(s) x do(s) ponto(s) em que a função $f$ tem um máximo global. \[ x= \class{xm-given}{5} \]

Às vezes é importante saber se uma função atinge um extremo global em seu domínio. O teorema a seguir, que não chega a ser surpresa depois dos três exemplos anteriores, dá uma resposta simples a essa pergunta.

Teorema do valor extremo Se $f$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$, então existem pontos $c$ e $d$ em $[a,b]$ tais que $(c,f(c))$ é um máximo global e $(d,f(d))$ é um mínimo global em $[a, b]$.

Abaixo, vemos uma interpretação geométrica desse teorema.

Esse teorema continuaria válido se estivéssemos trabalhando em um intervalo aberto?

sim não

xmhintConsidere $\tan (\theta )$ para $-\pi /2 < \theta < \pi /2$. Essa função atinge seu máximo ou seu mínimo?

Esse teorema continuaria válido se estivéssemos trabalhando em um intervalo fechado $[a,b]$, mas a função não fosse contínua em $[a,b]$?

sim não

xmhintConsidere uma função $f$ no intervalo fechado $[-1,1]$, definida por $f(x)=\frac {1}{x}$ para $x\neq 0$ e $f(0)=0$. Essa função atinge seu máximo ou seu mínimo?

Suponha que uma função $f$ seja contínua em um intervalo fechado $[a,b]$. Pelo teorema do valor extremo, $f$ atinge ambos os extremos globais no intervalo $[a,b]$. Como podemos localizar esses extremos globais? Vimos que eles podem ocorrer nas extremidades ou no intervalo aberto $(a,b)$. Se um extremo global ocorre em um ponto $x$ do intervalo aberto $(a,b)$, então $f$ tem um extremo local em $x$. Isso significa que $f$ tem um ponto crítico em $x$. Assim, os extremos globais de uma função $f$ ocorrem ou nas extremidades, $a$ ou $b$, ou nos pontos críticos. Se quisermos localizar os extremos globais, precisamos calcular o valor da função nas extremidades e nos pontos críticos e comparar os valores.

Determine os valores extremos de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 1$ no intervalo $[-1,4]$.

A derivada é $f'(x) = 3x^2 - 6x$ \begin{align*} f'(x) &= 0\\ 3x^2 - 6x &= 0\\ 3x(x-2) &= 0 \end{align*}

Os pontos críticos são $x=0$ e $x=2$ (ambos pertencem a $(-1,4)$), com valores $f(0) = -1$ e $f(2) = -5$.

As extremidades têm valores $f(-1) = -5$ e $f(4) = 15$.

Isso nos dá a lista de valores $\{ -1, -5, 15\}$.

O valor máximo global de $f$ é $15$ (ocorrendo em $x=4$) e o valor mínimo global é $-5$ (ocorrendo em $x=-1$ e $x=2$).

Seja $f(x)=x^2e^{-x}$, para $ -2\le x\le 1$. Localize os extremos globais de $f$ no intervalo fechado $[-2,1]$. A função $f$ satisfaz as condições do teorema do valor extremo em seu domínio?

Sim, porque $f$ é contínua em $(-2,1)$. Sim, porque $f$ é contínua em $[-2,1]$. Não, porque $f$ não é contínua em $[-2,1]$. Não, porque $f$ não é derivável em $(-2,1)$.

Portanto, o teorema do valor extremo garante que a função $f$ atinge ambos os extremos globais em seu domínio. Os extremos globais ocorrem nas extremidades ou nos pontos críticos.

Determine os pontos críticos de $f$. Primeiro, calcule a derivada de $f$. \[ f'(x)= xe^{-x}(\class{xm-given}{2-x}) \] Para encontrar os pontos críticos de $f$, precisamos resolver a equação \[ f'(x)= \class{xm-given}{0}. \] Segue que a função $f$ tem apenas um ponto crítico, $\left (c,f(c)\right )$. Determine $c$. \[ c= \class{xm-given}{0} \] Para localizar os extremos globais de $f$, precisamos calcular $f$ nas extremidades e no ponto crítico. \[ f(-2)= \class{xm-given}{4e^{2}} \] \[ f(c)= \class{xm-given}{0} \]

\[ f(1)= \class{xm-given}{e^{-1}} \] Ordene os três valores, $f(-2)$, $f(c)$ e $f(1)$, do menor para o maior. Substitua $c$ pelo seu valor ao escrever $f(c)$ na sua resposta abaixo. \[ f(\class{xm-given}{0})<f(\class{xm-given}{1})<f(\class{xm-given}{-2}) \]

Com base nessa comparação, determine a localização do mínimo global e do máximo global de $f$. Marque a resposta correta.

$f$ tem um máximo global em $x=1$ e um mínimo global em $x=0$. $f$ tem um máximo global em $x=1$ e um mínimo global em $x=-2$. $f$ tem um máximo global em $x=-2$ e um mínimo global em $x=0$. $f$ tem um máximo global em $x=-2$ e um mínimo global em $x=1$. $f$ tem um máximo global em $x=0$ e um mínimo global em $x=-2$. $f$ tem um máximo global em $x=0$ e um mínimo global em $x=1$.

Determine os valores extremos de $g(x) = \sin (x) - \cos (x)$ em $[-\pi , \pi ]$.

Para encontrar os pontos críticos: \begin{align*} g'(x) &= 0\\ \cos (x) + \sin (x) &= 0\\ \cos (x)\left ( 1 + \frac {\sin (x)}{\cos (x)} \right ) &= 0\\ \cos (x) \left ( 1 + \tan (x) \right ) &= 0 \end{align*}

Observe que os valores de $x$ com $\cos (x) = 0$ têm $\sin (x) = \pm 1$, de modo que $g'(x) = 0 \pm 1 \neq 0$. Esses valores não são pontos críticos.

No intervalo $[-\pi , \pi ]$, as soluções de $\tan (x) = -1$ são $x = -\frac {\pi }{4}, \frac {3\pi }{4}$. (As soluções que não estão em $(-\pi , \pi )$ são ignoradas.) \begin{align*} g\left ( -\frac {\pi }{4} \right ) &= \sin \left ( -\frac {\pi }{4} \right ) - \cos \left ( -\frac {\pi }{4} \right )\\ &= -\frac {1}{\sqrt {2}} - \frac {1}{\sqrt {2}}\\ &= \class{xm-given}{-\sqrt {2}}\\ \\ g\left ( \frac {3\pi }{4} \right ) &= \sin \left ( \frac {3\pi }{4} \right ) - \cos \left ( \frac {3\pi }{4} \right )\\ &= \frac {1}{\sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2}}\\ &= \class{xm-given}{\sqrt {2}} \end{align*}

As extremidades têm valores $g( -\pi ) = g(\pi ) = \class{xm-given}{1}$

O valor máximo global de $g$ é $\class{xm-given}{\sqrt {2}}$ (ocorrendo em $x=\class{xm-given}{\frac {3\pi }{4}}$) e o valor mínimo global é $\class{xm-given}{-\sqrt {2}}$ (ocorrendo em $x=\class{xm-given}{\frac {\pi }{4} }$ ).