Dada uma função, uma aproximação linear é um nome pomposo para algo que você já conhece:

A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto está muito próxima do gráfico da função perto desse ponto.

Essa reta tangente é o gráfico de uma função linear, chamada de aproximação linear.

Seja \(f\) uma função derivável em algum intervalo I que contém o ponto \(a\). O gráfico de uma função \(f\) e a reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto em que \(x=a\) são dados na figura abaixo. Determine a equação da reta tangente.

Primeiro, encontre a expressão para \(m\), a inclinação da reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto \((a,f(a))\). Selecione a alternativa correta.

\(m= f(a)\) \(m=f'(a)\) \(m= \frac {f(a)-f(0)}{a-0}\) \(m= \frac {f(a+h)-f(a)}{h}\) Não temos informação suficiente para determinar a inclinação.

Como sabemos que o ponto \((a,f(a))\) está sobre a reta tangente, podemos escrever uma equação da reta tangente.

\[ y= f(a)+f'(a)(x-a). \] Agora, definimos uma função, \(L\), por \(L(x)= f(a)+f'(a)(x-a)\). Essa função é linear e seu gráfico é a reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto em que \(x=a\). Essa função merece um nome especial.

Observe que o gráfico de \(L\) é simplesmente a reta tangente ao gráfico de \(f\) em \(x=a\).

Uma aproximação linear de \(f\) é uma “boa” aproximação desde que \(x\) não esteja “longe demais” de \(a\). Se “ampliarmos” o gráfico de \(f\) o suficiente, os gráficos de \(f\) e \(L\) ficam praticamente indistinguíveis.

Como primeiro exemplo, veremos como as aproximações lineares nos permitem aproximar cálculos “difíceis”.

Seja \(f\) a função definida por \[ f(x) =\sqrt [3]{x}.\] Aproxime \(\sqrt [3]{50}\) usando \(L\), uma aproximação linear da função \(f\) em \(a=64\).

Para começar, escreva \[ \ddx f(x) = \ddx x^{1/3} = \frac {1}{3x^{\class{xm-given}{2/3}}}. \] \begin{align*} L(x) &= \class{xm-given}{4}+ \frac {1}{3\cdot 64^{2/3}} (x-64) \\ &=4+ \frac {1}{\class{xm-given}{48}} (x-64) \\ &= \frac {x}{48} +\frac {8}{3}. \end{align*}

Agora calculamos \(L(50)= \frac {50}{48} +\frac {8}{3}\). Isso foi fácil de calcular, já que \(L\) é uma função linear! Usando uma calculadora, podemos ver que \(L(50)= \frac {50}{48} +\frac {8}{3}\approx 3.71\) e que \(\sqrt [3]{50}\approx 3.68\). Portanto, \(L(50)\) não só é fácil de calcular, como também nos dá uma boa aproximação de \(\sqrt [3]{50}\).

O que aconteceria se, em vez disso, escolhêssemos \(a=27\)?

Então usaríamos \(L_{27}\), a aproximação linear da função \(f\) em \(a=27\). Nesse caso, \(L_{27}=f(27)+f'(27)(x-27)=3+\frac {1}{27}(x-27)\). O gráfico de \(L_{27}\), junto com os gráficos de \(f\) e \(L=L_{64}\), é dado na figura abaixo.

Pela figura, podemos ver que

\(L_{27}(50)>L_{64}(50)>f(50)\).

Então a nossa escolha, \(a=64\), foi melhor!

Com as calculadoras e os programas de computador modernos, pode não parecer necessário usar aproximações lineares. Na verdade, elas são bastante úteis. Em situações que exigem uma aproximação numérica explícita, elas nos permitem obter rapidamente uma estimativa grosseira, que pode servir de “prova dos nove” para um cálculo mais complexo. Em alguns cálculos complexos envolvendo funções, a aproximação linear torna possível um cálculo que, de outra forma, seria intratável, sem perda séria de precisão.

Use uma aproximação linear de \(f(x) =\sin (x)\) em \(a=0\) para aproximar \(\sin (0.3)\).

Para começar, escreva \[ \ddx f(x) = \class{xm-given}{\cos (x)}, \] de modo que nossa aproximação linear é \begin{align*} L(x) &= 0+\class{xm-given}{\cos (0)}\cdot (x-0)\\ &= x. \end{align*}

Logo, uma aproximação linear de \(\sin (x)\) em \(a=0\) é \(L(x) = x\), e assim \(L(0.3) = 0.3\). Comparando isso com \(\sin (.3) \approx 0.295\), vemos que a aproximação é muito boa. Por essa razão, é comum aproximar \(\sin (x)\) por sua aproximação linear \(L(x) = x\) quando \(x\) está perto de zero.

1 Estimativas por excesso ou por falta

Lembre-se de que, geometricamente, o valor real da função corresponde à coordenada \(y\) de um ponto do gráfico da função, e o valor aproximado corresponde à coordenada \(y\) de um ponto do gráfico da reta tangente. Temos uma terminologia para descrever a situação em que o gráfico da função está acima ou abaixo da reta tangente: concavidade.

Observe que indicamos apenas o intervalo \((0.9, 1)\) nesta resposta. Embora a função \(f\) tenha concavidade para cima em todo o intervalo \((0, \infty )\), é apenas o intervalo \((0.9, 1)\) que é relevante para esta pergunta, e por isso foi ele que incluímos na resposta.

2 Diferenciais

O gráfico de uma função \(f\) e o gráfico de \(L\), a aproximação linear de \(f\) em \(a\), são mostrados na figura abaixo. Além disso, duas quantidades, \(\d x\) e \(\d f\), e um ponto \(P\) estão marcados na figura. Olhe a figura com atenção ao responder às perguntas abaixo.

Assim, podemos escrever \(\d f=f'(a)\d x\) e chamá-la de diferencial de \(f\) em \(a\). Observe que podemos definir uma diferencial em qualquer ponto \(x\) do domínio de \(f\), desde que \(f'(x)\) exista.

Os estudantes frequentemente confundem a diferencial \(df\) com a derivada \(f'(a)\). Lembre-se de que a derivada nos dá a taxa de variação no ponto, enquanto a diferencial \(df\) é uma quantidade estimada de variação.

Faremos isso na nossa próxima definição.

Seja \(f\) uma função derivável, seja \(x\) um ponto do domínio de \(f\) e seja \(\d x\) uma quantidade, chamada de diferencial de \(x\). Definimos \(\d f\), a diferencial de \(f\), em um ponto \(x\) por \[ \d f=f'(x)\cdot \d x \]

Geometricamente, as diferenciais podem ser interpretadas por meio do diagrama abaixo.

Observe que agora vale (por definição!) que \[ f'(x)=\frac {\d f}{\d x}. \]

Essencialmente, as diferenciais nos permitem resolver os problemas apresentados nos exemplos anteriores de um ponto de vista ligeiramente diferente. Lembre-se de que, quando \(h\) está perto de zero, mas não é igual a zero, \[ f'(x) \approx \frac {f(x+h)-f(x)}{h}. \] Logo, \[ f'(x)h \approx f(x+h)-f(x). \] Podemos substituir a quantidade \(h\) por uma quantidade \(\d x\) e escrever \begin{align*} f'(x)\cdot \d x &\approx f(x+\d x)-f(x)\\ \d f &\approx f(x+\d x)-f(x). \end{align*}

Somando \(f(x)\) a ambos os lados, vemos que \[ f(x) + \d f\approx f(x+\d x) \] ou, equivalentemente, \[ f(x+\d x)\approx f(x) + \d f . \] Há contextos em que a linguagem das diferenciais é comum. Eis a estratégia básica:

Vamos repetir nossos exemplos anteriores usando diferenciais.

Use diferenciais para aproximar \(\sqrt [3]{50}\).

Tome \(f(x) = \sqrt [3]{x}\). Queremos saber \(\sqrt [3]{50}\). Como \(4^3 = 64\), tomamos \(x=64\). Fazendo \(\d x=50-64=-14\), temos \begin{align*} \sqrt [3]{50} = f(x + \d x) &\approx f(x) + \d f\\ &\approx \sqrt [3]{64} + \d f. \end{align*}

Aqui vemos o gráfico de \(y=\sqrt [3]{x}\) com as diferenciais acima marcadas:

Agora precisamos calcular \(\d f\): \begin{align*} \d f &= f'(x) \cdot \d x\\ &= \class{xm-given}{\frac {1}{3x^{2/3}}} \cdot \d x\\ &= \frac {1}{3\cdot 64^{2/3}} \cdot (\class{xm-given}{-14})\\ &= \frac {1}{3\cdot 64^{2/3}} \cdot (-14)\\ &= \frac {-7}{24} \end{align*}

Logo, \(f(50) \approx f(64) + \frac {-7}{24} \approx 3.71\).

Use diferenciais para aproximar \(\sin (0.3)\).

Tome \(y = \sin (x)\). Queremos saber \(\sin (0.3)\). Como \(\sin (0) = 0\), vamos tomar \(x = 0\) e \(\d x=0.3\). Escreva comigo \begin{align*} \sin (0.3) = \sin (x + \d x) &\approx \sin (x) + \d y\\ &\approx 0 + \d y. \end{align*}

Aqui vemos o gráfico de \(y=\sin (x)\) com as diferenciais acima marcadas:

Agora precisamos calcular \(\d y\): \begin{align*} \d y &= \left (\ddx \sin (x)\right ) \cdot \d x\\ &=\class{xm-given}{\cos (0)} \cdot \d x\\ &= 1 \cdot (\class{xm-given}{0.3})\\ &= 0.3 \end{align*}

Logo, \(\sin (0.3) \approx \sin (0) + 0.3 \approx 0.3\).

A conclusão é que aproximações lineares e diferenciais são simplesmente duas maneiras ligeiramente diferentes de fazer exatamente a mesma coisa.

3 Aproximação do erro

As diferenciais também nos ajudam a estimar erros em situações da vida real.

Um copo contendo água é mostrado na figura abaixo.

Seja \(y\) a altura da água (medida em centímetros). O volume de água no copo (em mililitros), como função de \(y\), é dado por \[ V(y) = \frac {2\pi y^{3/2}}{\sqrt {3}}. \]

Há uma marca indicando quando o copo está cheio até \(250\) ml, a \(16.8\) cm da base do copo. Se o copo for cheio com um erro de até \(\pm 2\) milímetros em relação à marca, quais são os limites para o volume?

Queremos saber o que uma pequena variação na altura, \(y\), provoca no volume \(V\). Essas pequenas variações podem ser modeladas pelas diferenciais \(\d V\) e \(\d y\). Como \[ \d V = V'(y) \d y \] e \(V'(y) = \class{xm-given}{\pi \sqrt {3 y}}\), usamos o fato de que \(\d y = \pm 0.2\) com \(y=\class{xm-given}{16.8}\) para ver que \[ \d V = \class{xm-given}{\pi \sqrt {3 \cdot 16.8}} \cdot 0.2. \] Logo, o volume vai variar em aproximadamente \(\pm \class{xm-given}{4.46062}\) mililitros.

4 Novos e velhos amigos

Você pode estar se perguntando, dado um gráfico \(y=f(x)\),

Qual é a diferença entre \(\Delta x\) e \(\d x\)? E entre \(\Delta y\) e \(\d y\)?

De qualquer forma, agora essa é uma pergunta urgente. A questão é a seguinte: \[ \frac {\Delta y}{\Delta x} \] é a taxa de variação média de \(y=f(x)\) em relação a \(x\). Por outro lado: \[ \frac {\d y}{\d x} \] é a taxa de variação instantânea de \(y=f(x)\) em relação a \(x\). Essencialmente, \(\Delta x\) e \(\d x\) são o mesmo tipo de coisa: são variações (em geral pequenas) de \(x\). No entanto, \(\Delta y\) e \(\d y\) são coisas bem diferentes.

• \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\); é a variação de \(y=f(x)\) associada a \(\Delta x\).

• \(\d y=L(x+\d x)-L(x)\); é a variação de \(y=L(x)\) associada a \(\Delta x=\d x\). \[ \d y =f'(x)\d x \] Observação: \( L(x+\d x)= f(x)+f'(x)\d x\).

  Portanto, a variação \begin{align*} \d y &= L(x+\d x)-L(x)\\ &= f(x)+f'(x)\d x-L(x)\\ &= f(x)+f'(x)\d x-f(x)\\ &=f'(x)\d x \end{align*}