\(
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\)
A figura abaixo mostra o gráfico da função \(f\), em que \(f(x)=-x^2\), e o ponto \(P(0,3)\).
Determine as equações de todas as retas tangentes à curva \(y=f(x)\) que passam pelo ponto
\(P\).
Vamos resolver este problema em várias etapas.
ETAPA 1
Qualquer reta tangente desse tipo passa pelo ponto \(P(0,3)\) e tem uma inclinação, que
chamaremos de \(m\). Portanto, sua equação é dada por \[ y-\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}=m(x-\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}) \] ETAPA 2
Agora precisamos encontrar uma expressão para a inclinação \(m\).
A reta é tangente à curva \(y=f(x)\) em algum ponto da curva, digamos \((a,f(a))=(a,-a^2)\). Portanto, a
inclinação da reta tangente, m, é dada por \[ m =f'(a) \] e, expressando \(f'(a)\) em termos de \(a\), obtemos
que \[ m= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} a.\\ \]
Portanto, uma equação da reta tangente é dada por \[ y-3=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}ax, \] em que \(a\) ainda precisa ser
determinado.
xmhintObserve que o ponto \((a,-a^2)\) pertence tanto à reta tangente quanto à curva
\(y=f(x)\).
Portanto, o ponto \((a,-a^2)\) satisfaz a equação da reta tangente!
Substituindo \(x=a\) e \(y=-a^2\) na equação da reta, obtemos a equação \[ -a^2-3=-2a(a) \]
Resolva essa equação do segundo grau para \(a\)!
Encontramos duas soluções para \(a\)
(escritas em ordem crescente)
\[ a=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\text { and } a=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \]
Isso significa que há duas retas tangentes passando pelo ponto \(P\),
uma com inclinação (escritas em ordem crescente) \(m=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) e a outra com inclinação
\(m=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Confira a figura!
ETAPA
3
Existem exatamente duas retas que são tangentes à curva \(y=f(x)\) e passam pelo ponto \(P\). A
primeira reta tem inclinação positiva e a segunda tem inclinação negativa, e suas
equações, escritas nessa ordem, são: \begin{align*} y &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ y &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ \end{align*}
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