\(
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\)
Uma montanha-russa de brinquedo foi projetada de modo que o trilho tem a forma
do gráfico de \(f(x) = x - \sin \left (\frac {\pi x}{5}\right )\), onde \(x\) e \(f(x)\) são medidos em polegadas.
A taxa de variação média da altitude da montanha-russa no intervalo \([0,10]\) é
\(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Selecione a melhor interpretação de \(f'(a)\) para \(0<a<10\).
\(f'(a)\) é a altitude em \(a\). \(f'(a)\) é a taxa de
variação média da altitude no intervalo \([0,a]\). \(f'(a)\) é a velocidade de um objeto em \(a\). \(f'(a)\) é a
taxa de variação instantânea da altitude em \(a\). \(f'(a)\) é a inclinação da reta secante que
passa por \((0,0)\) e \((10,10)\).
Como \(f\) é contínuaderivável no intervalo \([0,10]\) e \(f\) é contínuaderivável no intervalo
\((0,10)\), \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio.
Pelo teorema do valor médio, existe \(c\) em \((0,10)\) tal que \(f'(c) = 1\). Na verdade, isso acontece duas
vezes: quando \(c_1=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) e quando \(c_2=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) (suponha \(c_1<c_2\)).
O ponto mais íngreme da montanha-russa é \(\left (\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right )\). (Dica: maximize \(f'(x)\) em \((0,10)\).)
A aproximação linear, \(L\), de \(f\) em \(a=5\) é \[ L(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \]
Usando essa aproximação linear, estimamos que \(f(7)\) é aproximadamente \[ f(7) \approx \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \] Essa
estimativa é uma estimativa por excessoestimativa por falta porque \(f\) tem concavidade para cimaconcavidade para baixo entre 5 e 7.
Quando \(x\) varia de \(x=5\) até \(x+\Delta x=7\), a variação de \(f\), \(\Delta y\), é \[ \Delta y = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \] Podemos aproximar essa variação pela
diferencial \(\mathrm {d}y\), que é \[ \mathrm {d}y = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \] (Dica: consulte a definição de diferenciais no livro.)
![[Picture]](/rendered/optimization/exercises/optimizationExercise9-96a39e8c76168a5222fa4f045c5cab41.svg)