\(
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\)
Uma empresa de transporte está tentando minimizar o custo de dirigir um caminhão
entre Chicago e Nova Orleans. Ela sabe o seguinte:
- A viagem tem 750 milhas.
- A 50 mph, o caminhão faz 4 milhas por galão.
- Para cada aumento de 1 mph na velocidade acima de 50 mph, o caminhão
perde 1/10 de milha por galão em eficiência de combustível, e para cada
redução de 1 mph na velocidade abaixo de 50 mph, o caminhão ganha
1/10 de milha por galão em eficiência de combustível.
- A equipe de motoristas ganha 27 dólares por hora.
- Há um custo adicional de 15 dólares por hora para operar o caminhão.
- O óleo diesel para o caminhão custa $3.90 por galão.
- O caminhão será dirigido a uma velocidade constante durante toda a
viagem.
Escreva uma função custo, \(C(x)\), para o custo total de dirigir o caminhão de Chicago a
Nova Orleans à velocidade constante \(x\). \[ C(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\,\text {dólares} \]
O domínio dessa função custo é \(\left (\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right )\), em milhas por hora.
Para minimizar essa função, procuramos os pontos críticos em que \(C'(x)=0\).
\[ C'(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Resolvendo essa equação, obtemos um ponto crítico, \(x_0\), no domínio de \(C\), em \(x=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) milhas
por hora (arredonde para o décimo de milha por hora mais próximo).
Para confirmar que esse ponto crítico é um mínimo local, usamos o teste da
primeira derivada. Para \(x<x_0\), \(C'(x)\) é positivanegativa, e para \(x>x_0\), \(C'(x)\) é positivanegativa. Então, pelo teste da primeira derivada, \(C\) tem um mínimo local.
Agora, como \(C\) tem apenas um ponto crítico em seu domínio, e tem um
mínimo local nele, esse mínimo local também é o mínimo absoluto de
\(C\).
Assim, concluímos que, para minimizar o custo, o caminhão deve ser dirigido
a \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) milhas por hora (arredondado para o décimo de milha por hora mais
próximo).