\(
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\)
Classifique pontos críticos. Aplique o teste da primeira derivada. Aplique o teste da segunda derivada. Determine pontos de inflexão.
Seja \(f(x)=x\ln x\). O domínio de \(f\) é \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\).
\(f\) não é contínua em todos os pontos de \((0,\infty )\) \(f\) é
contínua em \([M,\infty )\) para algum \(M>0\) Existe algum \(M>0\) tal que \(f\) não é contínua em \([M,\infty )\). \(f\) não é
contínua em nenhum ponto de \((0,\infty )\) \(f\) é contínua em \((\varepsilon ,\infty )\) para todo \(\varepsilon >0\). \(f\) é contínua em \((0,\infty )\)
As afirmações anteriores a respeito de \(f\) são verdadeiras porque
\(f\) é o produto de
duas funções cujos intervalos de continuidade têm união igual a \((0,\infty )\). o logaritmo
natural não é contínuo. o limite \(\lim _{x\to 0^+}f(x)\) existe e é igual a \(0\). \(f\) é o produto de duas
funções que são contínuas em \((0,\infty )\).
Em seguida, vamos classificar os pontos críticos
de \(f\).
Primeiro, calcule \[ f'(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
A função \(f\) tem \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) ponto(s) crítico(s).
O único ponto crítico
de \(f\) está localizado em \[ x=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Agora calcule \[ f''(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Como o valor de \(f''(\frac {1}{e})=\frac {1}{1/e}=e\) é
positivonegativozero, o ponto crítico que a função \(f\) tem em \(x=1/e\)
é um máximo localé um
mínimo localnão é nem um máximo local nem um mínimo localpode ser um
máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois, pelo teste da segunda
derivada.
Por fim, vamos identificar os pontos de inflexão de \(f\) e os intervalos em que \(f\) tem
concavidade para cima ou para baixo.
A função \(f\) tem \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) ponto(s) de inflexão.
Como \[ \frac {d^2}{dx^2}f(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] \(f''(x)\) é
positivanegativa em \((0,\infty )\).
Como \(f''(x)>0\) para todo \(x>0\), \(f\) tem
concavidade para cimaconcavidade para baixo em \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\).