\(
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\)
Máximos e mínimos locais. Pontos críticos. Teste da primeira derivada. Teste da segunda derivada.
Seja \(f(x) = 20 + 8x^2 - x^4\).
(a) Determine todos os pontos críticos de \(f\) e classifique-os, isto é, para cada ponto
crítico de \(f\) decida se ele é um mínimo local, um máximo local ou nenhum dos dois.
(b) Determine todos os pontos de inflexão de \(f\).
(a) Primeiro, temos de calcular \(f'(x)\).
\(f'(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Complete a afirmação abaixo.
As coordenadas x de todos os pontos críticos de \(f\) (da esquerda para a direita) são \(a=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\), \(b=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) e
\(c=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Agora calcule \[ f''(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Agora, vamos calcular a segunda derivada em todos os pontos críticos de \(f\) e aplicar o
teste da segunda derivada para determinar se a função \(f\) tem um extremo
local em algum desses pontos. \[ f''(a)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Como o valor de \(f''(a)\) é
positivonegativozero, a função \(f\)
tem um máximo localtem um mínimo localnão
tem nem um máximo local nem um mínimo localpossivelmente tem um
máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois em \(x=a\), pelo teste da
segunda derivada. \[ f''(b)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Como o valor de \(f''(b)\) é
positivonegativozero, a
função \(f\)
tem um máximo localtem um mínimo localnão tem nem
um máximo local nem um mínimo localpossivelmente tem um máximo
local, um mínimo local ou nenhum dos dois em \(x=b\), pelo teste da segunda
derivada.
\[ f''(c)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Como o valor de \(f''(c)\) é
positivonegativozero, a função \(f\)
tem um máximo
localtem um mínimo localnão tem nem um máximo local nem um mínimo localpossivelmente tem um máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois em \(x=c\), pelo
teste da segunda derivada.
(b) Complete a afirmação abaixo.
Como \(f''(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\), segue que pontos de inflexão podem ocorrer em (da esquerda para a direita) \(m=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\)
e \(n=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-11}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Para verificar se a função \(f\) tem um ponto de inflexão em \(x=m\) ou em \(x=n\), temos de verificar o
sinal de \(f''(x)\) nos intervalos \((-\infty ,m)\), \((m,n)\) e \((n,+\infty )\).
Como \(a < m < b < n < c\), podemos usar os valores \(f''(a)\), \(f''(b)\) e \(f''(c)\) para determinar o sinal de \(f''(x)\) nesses intervalos.
\(f''(x)\) é positivanegativazero no intervalo \((-\infty ,m)\).
\(f''(x)\) é positivanegativazero no intervalo \((m,n)\).
\(f''(x)\) é positivanegativazero no intervalo \((n,+\infty )\).
Faça a escolha correta.
A função \(f\) temnão tem um ponto de inflexão em \(x=m\), porque o sinal de \(f''(x)\) mudanão muda em \(x=m\).
A função \(f\) temnão tem um ponto de inflexão em \(x=n\), porque o sinal de \(f''(x)\) mudanão muda em \(x=n\).