\(
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\)
Classifique pontos críticos. Aplique o teste da primeira derivada. Aplique o teste da segunda derivada. Determine pontos de inflexão. Identifique situações em que um máximo ou mínimo absoluto é garantido.
Seja \(f(x)=x\ln x\). O domínio de \(f\) é \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\).
\(f\) não é contínua em todos os pontos de \((0,\infty )\) \(f\) é
contínua em \([M,\infty )\) para algum \(M>0\) Existe algum \(M>0\) tal que \(f\) não é contínua em \([M,\infty )\). \(f\) não é
contínua em nenhum ponto de \((0,\infty )\) \(f\) é contínua em \((\varepsilon ,\infty )\) para todo \(\varepsilon >0\). \(f\) é contínua em \((0,\infty )\)
As afirmações anteriores a respeito de \(f\) são verdadeiras porque
\(f\) é o
produto de duas funções cujos intervalos de continuidade têm união igual a
\((0,\infty )\). o logaritmo natural não é contínuo. o limite \(\lim _{x\to 0^+}f(x)\) existe e é igual a \(0\). \(f\) é o produto de duas funções que são contínuas em \((0,\infty )\).
Em seguida,
vamos classificar os extremos de \(f\) e determinar se ela tem algum extremo
global.
Primeiro, calcule \[ f'(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
A função \(f\) tem \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) ponto(s) crítico(s).
O único ponto crítico
de \(f\) está localizado em \[ x=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Agora calcule \[ f''(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Como o valor de \(f''(\frac {1}{e})=\frac {1}{1/e}=e\) é
positivonegativozero, o extremo local que \(f\) tem em \(x=1/e\)
é um máximo localé um mínimo
localnão é nem um máximo local nem um mínimo localpode ser um máximo
local, um mínimo local ou nenhum dos dois, pelo teste da segunda derivada.
Como \(f\) é decrescente no intervalo \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\) e é crescente no intervalo \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\), \(f(x)\)
não tem
mínimo globaltem um mínimo global em \(x=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-11}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\). O mínimo global de \(f\) é \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-12}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Por
outro lado, a função \(\ln x\) é
crescente em \((0,\infty )\) decrescente em \((0,\infty )\) crescente em \((0,e)\) e
decrescente em \((e,\infty )\) decrescente em \((0,e)\) e crescente em \((e,\infty )\)
Como \(\ln x\) é crescente em \((0,\infty )\) e
como \(\ln e=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-13}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\), segue que, para todo \(x>e\), \[ f(x)\ge \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-14}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Portanto, em \((e,\infty )\), \(f(x)\) é positiva e
limitadailimitada. Portanto, \(f(x)\)
tem um máximo globalnão tem máximo global, mas
tem um máximo localnão tem máximo globalnão tem máximo global,
mas pode ter um máximo local.
Por fim, vamos identificar os pontos de
inflexão de \(f\) e os intervalos em que \(f\) tem concavidade para cima ou para
baixo.
A função \(f\) tem \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-15}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) ponto(s) de inflexão.
Como \[ \frac {d^2}{dx^2}f(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-16}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] \(f''(x)\) é
positivanegativa em \((0,\infty )\).
Como \(f''(x)>0\) para todo \(x>0\), \(f\) tem
concavidade para cimaconcavidade para baixo em \((\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-17}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-18}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}})\).