\(
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\)
Aproxime \(\sqrt {9.5}\) à mão usando a ideia de aproximação linear (de uma função e de
um ponto base convenientemente escolhidos). Usando a segunda derivada,
explique se essa é uma estimativa por falta ou uma estimativa por excesso.
xmhint
O número que você precisa aproximar deve ser expresso como
Se \(f(x) = \sqrt {9.5}\) para \(f(x) = \sqrt {x}\), então devemos usar \(x=9.5\). Isto é, estamos tentando aproximar \(f(9.5)\).
xmhint
Agora você vai aproximar \(f(9.5) = \sqrt {9.5}\) usando \(L(x)\), a aproximação linear de \(f\) em \(a\). Em outras
palavras, \(\sqrt {9.5}=f(9.5) \approx L(9.5)\).
Você precisa escolher o número ”base” \(a\) de modo que \(x=9.5\) esteja perto de \(a\) e de
modo que você consiga calcular com facilidade e exatidão os valores \(f(a)\) e \(f'(a)\).
Esses dois valores são necessários quando calculamos a expressão de \(L(x)\). Você
consegue pensar em um número perto de \(9.5\) cuja raiz quadrada você sabe
calcular?
xmhintA melhor escolha para \(a\) é \(a=9\). Qualquer outro número para o
qual seja fácil calcular \(\sqrt {a}\) está mais longe de \(x=9.5\). Agora temos que calcular \(f(a)=f(9)\) e
\(f'(a)=f'(9)\).
\[f(9)= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\]
\[f'(x)= \frac {1}{ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}\]
\[f'(9)= \frac {1}{ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}\]
xmhint
Em seguida, temos que encontrar uma expressão para \(L(x)=f(9)+f'(9)(x-9)\).
\[L(x)= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}+\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}(x-9)\]
xmhint
Agora, temos que calcular \(L(9.5)\).
\[L(9.5)= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}+\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}(9.5-9)\]
\[\sqrt {9.5} \approx \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\]
Essa é uma estimativa por falta ou uma estimativa por excesso?
xmhintLembre-se:
\(f''(x)=-\frac {1}{4\cdot x^{\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}}\).
Como \(f''(x)<0\) em \((9, 9.5)\), o gráfico de \(f\) é côncavo para baixo nesse intervalo. [Observação: sabemos
que \(f''(x) < 0\) em todo o intervalo \((0, \infty )\), mas só a parte em \((9, 9.5)\) importa para determinar se temos uma
estimativa por falta ou uma estimativa por excesso.]
Isso significa que \(L(9.5)\ge f(9.5)\).
Essa é uma estimativa por faltaestimativa por excesso porque o gráfico de \(f\) é côncavo para cimacôncavo para baixo no intervalo \(\left ( \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}, \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-11}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \right )\).
![[Picture]](/rendered/linearApproximation/exercises/linearApproximation1-9355d44d7c7c71352fc6529550ad9dcd.svg)