\(
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\)
Determinar a aproximação linear de uma função em um ponto e usá-la para aproximar o valor da função. Usar o teorema do valor médio para limitar o erro na aproximação linear.
Seja \(f\) uma função derivável no intervalo \((0,6)\) com os valores particulares de \(f\) e \(f'\) dados na
tabela abaixo. \[ \begin{array}{c|c|c|} x & f(x) & f'(x)\\ \hline 1 & 0 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 5 & 2\\ 4 & 6 & 5\\ \end{array} \]
Determine \(L(x)\), a aproximação linear de \(f\) em \(x=3\). \[ L(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Use a aproximação linear \(L(x)\)
para estimar o valor de \(f(2.8)\). \[ f(2.8)\approx \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Determine a taxa de variação média de \(f\) no
intervalo \([1,4]\). \[ \text {taxa de variação média de $f$ em $[1,4]$}=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Escolha a afirmação correta.
Existe um ponto \(c\) em \((1,4)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(4)-f(1)}{4-1}\),
embora a função \(f\) não satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio em \([1,4]\). Existe um ponto \(c\) em \((1,4)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(4)-f(1)}{4-1}\), pois a função \(f\) satisfaz as hipóteses do
teorema do valor médio em \([1,4]\). Existe um ponto \(c\) em \((1,4)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(4)-f(1)}{4-1}\), mas não temos
informação suficiente para encontrar tal ponto. Não existe nenhum ponto \(c\) em \((1,4)\)
tal que \(f'(c)=\frac {f(4)-f(1)}{4-1}\).
Novamente, escolha a afirmação correta.
Para cada
\(x\) em \([2,3]\), existe um ponto \(c\) em \((2,3)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(x)-f(2)}{x-2}\), embora a função \(f\) não satisfaça as
hipóteses do teorema do valor médio em \([2,3]\). Para cada \(x\) em \([2,3]\), existe um
ponto \(c\) em \((2,3)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(x)-f(2)}{x-2}\), pois a função \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema do valor
médio em \([2,3]\). Pode haver algum \(x\) em \([2,3]\) para o qual existe um ponto \(c\) em \((2,3)\)
tal que \(f'(c)=\frac {f(x)-f(2)}{x-2}\), mas não necessariamente para todo \(x\) em \([2,3]\). Para cada \(x\) em \([2,3]\), não
existe nenhum ponto \(c\) em \((2,3)\) tal que \(f'(c)=\frac {f(x)-f(2)}{x-2}\).
Suponha que saibamos que \(2\le f'(x)\le 3\) para \(x\)
em \((2,3)\). Pelo teorema do valor médio, para cada \(x\) em\( [2,3]\), existe \(c\) em \((2,3)\) tal que \[ f(x)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Lembre-se de que supusemos \(2\le f'(c)\le 3\) para cada \(c\) em \((2,3)\). Use sua resposta acima para
limitar \(f(x)\), para \(x\) em \([2,3]\), por cima e por baixo. \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\le f(x)\le \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Use as cotas \(2(x-2)+1\le f(x)\le 3(x-2)+1\), para \(x\) em \([2,3]\), que
você calculou no item anterior para aproximar \(f(2.8)\) por cima e por baixo. \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\le f(2.8)\le \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Seja \(L(x)\) a aproximação linear de \(f\) em \(x=3\) que você calculou antes. Usamos \(L(x)\) para
aproximar \(f(2.8)\) e descobrimos que \(f(2.8)\) é aproximadamente igual a \(4.6\). Usando nossas
respostas anteriores, podemos deduzir que essa aproximação de \(f(2.8)\) é uma
estimativa por excessoestimativa por falta.