\(
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\)
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções tais que
\(\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }g(x)=\infty \).
Dizemos que \(f\) cresce mais rápido que \(g\) quando \(x\) vai para \(\infty \) se
\(\lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)}=\infty \), ou, equivalentemente, se \(\lim _{x\to \infty }\frac {g(x)}{f(x)}=0\).
Se o limite existe, isto é, se
\(\lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)}=M\),
para algum número positivo \(M\),
então dizemos que as funções \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.
Em outras palavras, comparamos as taxas de crescimento das funções \(f\) e \(g\) calculando
o limite da forma \(\frac {\infty }{\infty }\): \(\lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)}\) .
Para cada um dos pares de funções a seguir, determine qual das duas cresce mais
rápido ou afirme que elas têm taxas de crescimento comparáveis. Justifique sua
resposta calculando o limite \(\lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)}\).
-
\(f(x)=x^3\), \(g(x)=e^{0.02x}\) \[ \lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Selecione a conclusão correta.
\(f\) cresce mais rápido que \(g\). \(g\) cresce mais
rápido que \(f\). \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.
-
\(f(x)=x^3\), \(g(x)=\ln (x)\) \[ \lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Selecione a conclusão correta.
\(f\) cresce mais rápido que \(g\). \(g\) cresce mais
rápido que \(f\). \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.
-
\(f(x)=x\ln (x)\), \(g(x)=x^{\frac {3}{2}}\) \[ \lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Selecione a conclusão correta.
\(f\) cresce mais rápido que \(g\). \(g\) cresce mais
rápido que \(f\). \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.
-
\(f(x)=e^x\), \(g(x)=x^x\) \[ \lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Selecione a conclusão correta.
\(f\) cresce mais rápido que \(g\). \(g\) cresce mais
rápido que \(f\). \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.
-
\(f(x)=\ln (x^3)\), \(g(x)=\ln (\sqrt {x})\) \[ \lim _{x\to \infty }\frac {f(x)}{g(x)} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Selecione a conclusão correta.
\(f\) cresce mais rápido que \(g\). \(g\) cresce mais
rápido que \(f\). \(f\) e \(g\) têm taxas de crescimento comparáveis.