\(
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\)
Considere a curva \(y^2 = x^2(x+1)\), cujo gráfico é dado abaixo:
Use derivação implícita para escrever \(\frac {dy}{dx}\) em termos de \(x\) e de \(y\).
\[ \frac {dy}{dx} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
A equação da reta tangente a essa curva no ponto \((3,6)\) é
\[ y = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Um ponto difícil de analisar nesse gráfico é o ponto \((0,0)\), já que ali a curva parece duas
retas que se cruzam. Gostaríamos de conhecer a equação dessas duas “retas
tangentes”. Nossa fórmula para \(\frac {dy}{dx}\) não ajuda, a princípio, pois obtemos \(\frac {0}{0}\) quando
substituímos \((0,0)\) nessa fórmula.
Como a fórmula só falha no ponto \((0,0)\), um caminho possível é tentar calcular o limite
das inclinações quando \((x,y)\) se aproxima de \((0,0)\) ao longo da curva.
Podemos resolver para a “parte de cima” da curva como \(y = \sqrt {x^2(x+1)}\). A outra metade da curva é
\(y = -\sqrt {x^2(x+1)}\).
Usando \(y = \sqrt {x^2(x+1)}\), vemos que, para pontos no primeiro quadrante do plano, podemos escrever \(\frac {dy}{dx}\)
como função de \(x\) na forma \[ \frac {dy}{dx} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] e \[ \lim _{x \to 0^+} \frac {dy}{dx} = 1 \] Assim, as equações das duas “retas tangentes” são \(y=x\) e
\(y=-x\).
Também poderíamos ter chegado a esse resultado de maneira mais intuitiva, da
seguinte forma:
Na equação \(y^2 = x^2+x^3\), quando \(x\) está muito próximo de \(0\), todos os termos serão muito pequenos,
mas o termo \(x^3\) será pequeno até mesmo em comparação com \(x^2\). Assim, a curva deve se
parecer muito com a curva \(y^2 = x^2\) perto de \((0,0)\). Mas \(y^2 = x^2\) é equivalente a \((y-x)(y+x)=0\), que é exatamente o par
de retas \(y=x\) e \(y=-x\).
![[Picture]](/rendered/implicitDifferentiation/exercises/implicitWeird1-4546dab015ef4b30b87c121f3108f750.svg)