\(
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\)
Um tanque de óleo será esvaziado para limpeza. Restam \(V(t)\) galões de óleo no tanque \(t\)
minutos após o início do esvaziamento, em que \(V(t)=45(60-t)^2\).
Determine a
taxa média com
que o óleo escoa durante os primeiros \(15\) minutos. \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \]
Determine a
taxa média com
que o óleo escoa durante o intervalo de tempo \([10,15]\). \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \]
Determine a
taxa com que o óleo
está escoando \(15\) minutos após o início do esvaziamento. \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \]
Determine a
taxa média,
\(AR(t)\), com que o óleo escoa durante o intervalo de tempo \([15+ t,15]\) se \(-1< t<0\). \[ AR(t)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \] Agora determine a
taxa média, \(AR( t)\), com que o óleo escoa durante o intervalo de tempo \([15,15+ t]\) se \(0< t<1\). \[ AR(t)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \]
Usando seu resultado, calcule o limite \[ \lim _{t\to 0}AR(t)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {gal/m} \]
O que esse limite \(\lim _{t\to 0}AR(t)\) representa?
A taxa de variação média em \(t=0\). A quantidade \(V(15)\). A taxa de variação
instantânea de \(V(t)\) em \(t=15\). A derivada de \(V(t)\) em \(t=0\).
Suponha que o tanque de
óleo tenha sido completamente esvaziado e agora esteja sendo reabastecido.
Seja \(F(t)\) a quantidade de galões de óleo no tanque \(t\) minutos após o início do
reabastecimento. Suponha que nos digam que a função \(F\) é uma
função
derivável e que o tanque é tão grande que levará um bom tempo para
encher.
Determine uma expressão para a
taxa média, \(\bar {r}(t)\), com que o óleo entra no tanque
nos primeiros \(t\) minutos, para \(t>0\). Expresse \(\bar {r}\)
simbolicamente em termos da
função \(F(t)\), da variável \(t\) e da quantidade \(F(0)\).
\(\bar {r}(t)=\frac {F(0)-F(t)}{t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}(t)=F(0)-F(t)\unit {gal/m}\) \(\bar {r}(t)=\frac {F(0)}{t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}(t)=\frac {F(t)}{t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}(t)=\frac {F(t)-F(0)}{t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}(t)=\frac {F(t)}{t}\unit {gal/m}\)
Agora seja \(\bar {r}_{\Delta }(t,\tau )\) a
função que denota a
taxa média com que o óleo escoa no intervalo de
tempo \([t,\tau ]\), em que \(t\) é maior que \(0\) e menor que tau—isto é, em que \(0<t<\tau \). Expresse \(\bar {r}_{\Delta }\)
simbolicamente em termos da função \(F\) e das variáveis \(t_0\) e \(t_f\).
\(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=\frac {F(t)-F(\tau )}{\tau -t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=F(t)-F(\tau )\unit {gal/m}\) \(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=\frac {F(t)}{\tau }\unit {gal/m}\) \(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=\frac {F(\tau )}{t}\unit {gal/m}\) \(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=\frac {F(\tau )-F(t)}{\tau -t}\unit {gal/m}\)
\(\bar {r}_\Delta (t,\tau )=\frac {F(\tau )}{\tau }\unit {gal/m}\)
O que \(\lim _{t\to \tau } \bar {r}_\Delta (t,\tau )\) calcula?
A taxa de variação média de \(\bar {r}(\tau )\). A taxa de
variação média de \(V\) em \(\tau \). A taxa de variação instantânea de \(\bar {r}(\tau )\). A taxa de
variação instantânea de \(V\) no instante \(\tau \). \(V'(\tau )\) \(\bar {r}'(\tau )\).