\( \newenvironment {prompt}{}{} \newcommand {\accordion }[0]{} \newcommand {\ungraded }[0]{} \newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex} \newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty} \newcommand {\todo }[0]{} \newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint } \newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}} \newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }} \newcommand {\RR }[0]{\mathbb R} \newcommand {\R }[0]{\mathbb R} \newcommand {\N }[0]{\mathbb N} \newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z} \newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}} \newcommand {\d }[0]{\,d} \newcommand {\l }[0]{\ell } \newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}} \newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}} \newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}} \newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}} \newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}} \newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}} \newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}} \newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}} \newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}} \newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}} \newcommand {\dfn }[0]{\textbf } \newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm } \newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]} \newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon } \newcommand {\phi }[0]{\varphi } \newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow } \DeclareMathOperator {\arccot }{arccot} \DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec} \DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc} \DeclareMathOperator {\si }{Si} \DeclareMathOperator {\scal }{scal} \DeclareMathOperator {\sign }{sign} \newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}} \newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}} \newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )} \newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}} \newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}} \DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}} \newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}} \newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}} \newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}} \newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}} \newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}} \newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}} \newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}} \newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}} \newcommand {\dotp }[0]{\bullet } \newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times } \newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla } \newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp } \newcommand {\curl }[0]{\grad \cross } \newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits } \newcommand {\bar }[0]{\overline } \newcommand {\surfaceColor }[0]{violet} \newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow} \newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow} \newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle } \newcommand {\sectionOutcomes }[0]{} \newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}} \newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{} \newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{} \newcommand {\microtypesetup }[1]{} \newcommand {\microtypecontext }[1]{} \newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2} \newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{} \newcommand {\lsstyle }[0]{} \newcommand {\lslig }[1]{#1} \newcommand {\maketitle }[0]{} \newcommand {\problem }[0]{ } \newcommand {\exercise }[0]{ } \newcommand {\question }[0]{ } \newcommand {\exploration }[0]{ } \newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}} \newcommand {\GetTranslation }[1]{#1} \)

Um tema central deste curso tem sido que, muitas vezes, podemos compreender melhor uma função olhando para sua derivada e, em seguida, trabalhando no sentido inverso. Essa tem sido nossa abordagem para problemas de máximos e mínimos, esboço de curvas, aproximação linear e assim por diante. Então, na verdade, as antiderivadas têm sido importantes para nós desde o início.

Temos uma interpretação gráfica da derivada como a inclinação de uma reta tangente em um ponto. Ainda não encontramos uma interpretação gráfica da antiderivada.

Seja \(f\) a função constante \(4\). Seja \(F\) uma antiderivada qualquer de \(f\). Então \(F(5)-F(2) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
xmhintIsso é apenas uma maneira sofisticada de dizer que \(f\) é uma reta de inclinação \(4\), e estamos procurando a variação vertical correspondente a uma variação horizontal de \(5-2= 3\)
xmhint\(F(5) - F(2) = 4(5-2) = 12\)
A área da região delimitada pelo gráfico de \(f\), pelo eixo horizontal e pelas retas verticais \(x=2\) e \(x=5\) é \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
xmhint
xmhintTrata-se de um retângulo de altura \(4\) e largura \(3\), logo a área é \(12\)

O fato de essas duas respostas serem iguais é o germe de uma das ideias mais “fundamentais” de todo o cálculo. Contudo, antes de darmos o próximo passo, convém olharmos primeiro para trás, para a época em que éramos matemáticos ainda mais jovens.

Há dois modelos básicos de multiplicação: uma perspectiva de “taxa vezes tempo” e uma perspectiva de “área”. Por exemplo, poderíamos interpretar \[ 3\times 4 \] como resposta à pergunta:

“Se estou andando a \(3 \textrm {mph}\) durante \(4\) horas, que distância percorri?”

ou como resposta à pergunta

“Qual é a área de um retângulo de comprimento \(3\) e largura \(4\)?”

É essa dupla interpretação que nos permitirá começar a entender um significado geométrico da antiderivada.

Seja \(v(t)\) a velocidade de um objeto no instante \(t\).

e seja \(F\) uma antiderivada de \(f\). Suponha que queremos aproximar \(F(3) - F(1)\). Vamos obter uma aproximação usando \(4\) subintervalos.

\begin{align*} F(3) - F(1) &= (F(3) - F(2.5))+(F(2.5) - F(2))+(F(2) - F(1.5))+(F(1.5) - F(1))\\ &\approx F'(3)\frac {1}{2}+F'(2.5)\frac {1}{2}+F'(2)\frac {1}{2}+F'(1.5)\frac {1}{2}\\ &=f(3)\frac {1}{2}+f(2.5)\frac {1}{2}+f(2)\frac {1}{2}+f(1.5)\frac {1}{2} \end{align*}

Podemos visualizar isso como a soma das áreas de \(4\) retângulos. Observe que, enquanto os primeiros \(3\) termos são positivos, o último é negativo porque \(f(3)<0\). Devemos pensar nesses retângulos como tendo área com sinal, em que a área é negativa quando fica abaixo do eixo \(x\).

Ao aproximar \(f\) por uma função constante por partes, estamos aproximando \(F\) por uma função linear por partes:

Por um lado, podemos interpretar cada \(F'(x)\Delta x\) como uma aproximação da variação da altura de \(F\) no subintervalo. Por outro lado, como \(F' =f\), podemos pensar em \(F'(x)\Delta x = f(x)\Delta x\) como a área de um retângulo com base no subintervalo e altura \(f(x)\). Assim, a variação total de \(F\) em \([1,3]\) pode ser reinterpretada como a soma das áreas com sinal dos retângulos sob \(f\).

Se tornarmos nossos subintervalos menores, a aproximação linear repetida deve ficar mais precisa, e a soma das áreas dos retângulos se aproxima cada vez mais da área sob a curva:

Então é razoável pensar que \(F(3) - F(1)\) deve ser exatamente igual à área com sinal sob o gráfico de \(f\).

Suponha que uma partícula esteja acelerando a uma taxa constante de \(3 \frac {m}{s^2}\), parta com velocidade \(-3 \frac {m}{s}\) e se desloque durante \(5\) segundos. Desenhe o gráfico da velocidade em função do tempo e use as ideias desta seção para calcular o deslocamento da partícula ao longo de seu percurso.
xmhintO gráfico da velocidade em função do tempo é assim:
xmhintComo a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, pela nossa discussão acima a variação da posição deve ser a área com sinal sob a curva da velocidade. Você pode calculá-la como a diferença entre as áreas de dois triângulos.
xmhintO triângulo azul tem área \(\frac {1}{2}(5-1)(12) = 24\), e o triângulo vermelho tem área \(\frac {1}{2}(1)(3) = \frac {3}{2}\). Assim, a área líquida é \(24-\frac {3}{2} = \frac {45}{2}\). Esse é o deslocamento da partícula!

O deslocamento da partícula é de \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) metros no sentido positivo.